1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

b. O paraboloide z = 4 * x^2 + y^2 e o cilindro parabólico y = x^2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas z = 4 x 2 + y 2 e y = x 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos um paraboloide que intersecta a curva y = x 2 .

Ou seja, temos uma curva dada por

S = x , y , z ,     x , y , z ∈ R

Nesse caso, se substituirmos y = x 2 na equação do paraboloide z = 4 x 2 + y 2 , vamos obter

z = 4 x 2 + x 2 2

z = 4 x 2 + x 4

Ou seja, y foi dado em função de x , com isso podemos definir z também em função de x , dessa forma, se fizermos x = t , podemos definir nossa curva como

S t = t , t 2 , 4 t 2 + t 4 ,     t ∈ R

Como x pode assumir qualquer valor, então t também pode...

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

S t = t , t 2 , 4 t 2 + t 4 ,     t ∈ R

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