USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 1.2a
1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:
a. ;
Passo 1
Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉
Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas e .
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.
Deu pra sacar? 👀
Passo 2
Por exemplo, no nosso caso temos um paraboloide que é intersectado pelo plano .
Ou seja, temos uma curva dada por
Se igualarmos as duas equações de , chegamos em
Completando quadrados em , temos que , se e , temos
Mas nesse casso corrompemos a igualdade pois adicionamos no lado esquerdo, então para equilibrar novamente vamos somar também no lado direito.
Perceba que encontramos uma simetria polar no nosso problema, então podemos usar a parametrização em coordenadas polares fazendo
Pela equação , vemos que e que para satisfazer a igualdade, o termo tem que se somar a uma unidade, ou seja
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Já encontramos e parametrizados, agora vamos substituir no plano para obter a parametrização de
Assim, descrevendo , e de forma parametrizada, podemos obter acurva completa fazendo
Sacou como faz? Responde Aí! 😉
