USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.8c
2.8. Suponha que sobre um certo aberto o potencial elétrico é dado por .
c. Qual o valor dessa taxa máxima?
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, temos uma função potencial elétrico dada por e nosso objetivo é obter a máxima variação do potencial no ponto .
E agora? o que vamos fazer? 😬
Esse é um problema de derivadas direcionais onde temos que encontrar a direção onde a taxa de variação de uma função é a maior e a menos possível.
A derivada direcional de uma função , em um ponto e uma direção é dada pelo produto interno
Assim, o ponto de maior crescimento se dá na direção do vetor gradiente, ou seja
Bora começar! 😎
Passo 2
Primeiro vamos obter as derivadas parciais de
Substituindo o ponto nas derivadas, vamos obter
Portanto, o vetor que aponta para onde a função tem a maior taxa de variação é dado por
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Calculando o vetor unitário de , temos
Substituindo unitário e as derivadas parciais de na fórmula da derivada direcional...
Calculando o produto interno
Com isso, vemos que a máxima variação nada mais é que o modulo do vetor gradiente aplicado a um ponto (essa é uma regra geral!)
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
