USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 -Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 1.5b
Sejam curvas diferenciáveis. Verifique as seguintes propriedades:
;
Com isso obtenha uma expressão para as derivadas do produto misto e da norma:
e
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos define três curvas da forma e nos pede para verificar algumas propriedades, nesta alternativa iremos começar tentando mostrar que
;
em que indica um produto vetorial e indica a derivada em relação ao parâmetro . Vamos usar a definição de produto vetorial em termos dos componentes das superfícies e a regra do produto para demonstrar esta expressão. Além disso a questão pede para que encontremos em termos da derivada que iremos demonstrar, e do resultado que obtivemos na alternativa anterior
as derivadas do produto misto e da norma, as quais são definidas como
e
Bora começar!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de um produto vetorial, você pode fazer através do determinante de uma matriz neste caso, mas, o ponto do exercício não é demonstrar isso, vamos usar direto que
quando derivarmos essa expressão iremos obter uma série de derivadas do produto que devem ser expandidas com a regra do produto, em cada componente temos que
da mesma forma para os outros componentes, temos que
Vamos evidenciar os termos que estão derivados em , para conseguirmos visualizar melhor a expressão
note que isso é como o primeiro componente do produto vetorial
somado ao primeiro componente do produto vetorial
se fizer o mesmo processo para as outras derivadas você vai obter os segundos componentes somados, assim como os terceiros, de forma que a sua expressão se torna
Como queríamos demonstrar! Agora, vamos obter as derivadas pedidas!
Passo 3
Primeiro, a derivada do produto misto, temos que
se derivarmos, temos que
usando o resultado da alternativa anterior identificando a primeira parametrização é o próprio e a segunda parametrização é o produto vetorial da forma , ou seja, podemos escrever que
note que no segundo termo aparece a derivada do produto vetorial que acabamos de calcular, ou seja, usando este resultado
como o produto escalar é uma operação linear, temos que
ou seja, temos que
Beleza! A primeira derivada é essa! Vamos para a próxima!
Passo 4
A norma é tal que
derivando temos que
usando o resultado da alternativa anterior, temos que
Aí está! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!