1.2. Determine uma parametrização para as seguintes curvas:

d. C = x , y , z ∈ R 3   : x > 0 ,   x 2 + y 2 - z 2 = 4   e   z = x + y ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas x 2 + y 2 - z 2 = 4 e z = x + y .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos a superfície x 2 + y 2 - z 2 = 4 que é intersectada pela superfície z = x + y .

Isolando z em um lado da igualdade na equação x 2 + y 2 - z 2 = 4 , temos

x 2 + y 2 - z 2 = 4 → z 2 = x 2 + y 2 - 4

z = x 2 + y 2 - 4

Igualando a equação z = x + y ...

z = x + y = x 2 + y 2 - 4

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, chegamos em

x + y 2 = x 2 + y 2 - 4 2

x 2 + 2 x y + y 2 = x 2 + y 2 - 4

Simplificando e isolando y em um lado da igualdade...

2 x y = - 4

y = - 2 x

Assim, se fizermos x = t , temos que y pode ser parametrizado por

y = - 2 t

E substituindo x e y em z = x + y temos que a parametrização de z é

z = x + y → z = t - 2 t

E como foi dito que x > 0 , então t tambem tem que ser > 0

E finalmente a curva poderá ser parametrizada como

S t = t , - 2 t , t - 2 t ,     t > 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

S t = t , - 2 t , t - 2 t ,     t > 0

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