1.1. Determine uma parametrização para as curvas dadas pela intersecção de:

a. O cilindro x^2 + y^2 = 4 e a superfície z = xy .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter uma parametrização da intersecção entre as curvas x 2 + y 2 = 4 e z = x y .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O intuito de parametrizar uma curva é reescrevê-la em função de menos variáveis. Pra isso podemos encontrar simetrias que facilitam na hora de simplificar nossa parametrização ou definir as coordenadas x , y , z em torno de uma única variável fazendo as outras variáveis ser escritas como funções da primeira.

Deu pra sacar? 👀

Passo 2

Por exemplo, no nosso caso temos uma circunferência definida em z = x y

Ou seja, temos uma curva dada por

S = x , y , z ,   x , y , z ∈ R

Como nossa curva é dada por

x 2 + y 2 = 4

Podemos aproveitar a simetria polar para escrever essas equações em coordenadas polares... lembra como faz? x = r cos ⁡ t e y = r sin ⁡ t .

Pela equação da curva, vemos que r = 4 = 2 , ou seja, temos que x = 2 cos ⁡ t e y = 2 sin ⁡ t .

Agora, como z é dada pela superfície

z = x y

Então aplicando a parametrização em z , temos

z = 2 cos ⁡ t 2 sin ⁡ t

z = 4 cos ⁡ t sin ⁡ t

Ou também, aplicando propriedades trigonométricas, podemos escrever z como

z = 2 sin ⁡ 2 t

Assim, finalmente podemos escrever nossa curva como

S t = 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t , 2 sin ⁡ 2 t ,     t ∈ 0,2 π

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

S t = 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t , 2 sin ⁡ 2 t ,     t ∈ 0,2 π

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