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Exercícios Resolvidos de Reta tangente

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.5

2.5. Ache a reta tangente à interseção do gráfico da função f x , y = x 3 + y 3 + 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 2 no ponto 1,1 , 4 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a equação da reta que é tangente à intersecção entre f x , y = x 3 + y 3 + 2 e x 2 + y 2 = 2 no ponto 1,1 , 4 .

Tem alguma ideia de como resolver essa questão? 👀

O que podemos fazer é obter os planos tangentes a f e ao cilindro no ponto 1,1 , 4 e depois obter a intersecção entre esses dois planos tangentes.

O plano tangente é obtido como

z = f x x - x 0 + f y y - y 0 + z 0

Já a intersecção entre os planos é obtida parametricamente escrevendo as variáveis x , y e z em função de uma única variável...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos obter o plano tangente a f x , y = x 3 + y 3 + 2 sabendo que x 0 = 1 , y 0 = 1 e z 0 = 4

z = ∂ x 3 + y 3 + 2 ∂ x x - 1 + ∂ x 3 + y 3 + 2 ∂ y y - 1 + 4

z = 3 x 2 x - 1 + 3 y 2 y - 1 + 4

Substituindo x 0 , y 0 e z 0 nas derivadas parciais...

z = 3 1 2 x - 1 + 3 1 2 y - 1 + 4

z = 3 x - 1 + 3 y - 1 + 4

z = 3 x + 3 y - 2

Agora fazendo a mesma coisa com a equação do cilindro...

x 2 + y 2 = 2 → g x , y , z = x 2 + y 2 - 2

z = ∂ x 2 + y 2 - 2 ∂ x x - 1 + ∂ x 2 + y 2 - 2 ∂ y y - 1 + 4

z = 2 x x - 1 + 2 y y - 1 + 4

Substituindo x 0 , y 0 e z 0 nas derivadas parciais

z = 2 1 x - 1 + 2 1 y - 1 + 4

z = 2 x - 1 + 2 y - 1 + 4

z = 2 x + 2 y

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Igualando as duas equações, temos

2 x + 2 y = 3 x + 3 y - 2

- x = y - 2

x = 2 - y

Substituindo em z = 2 x + 2 y

z = 2 2 - y + 2 y

z = 4 - 2 y + 2 y

z = 4

Logo, nossa reta será dada por

X = 2 - y , y , 4

Como y 0 = 1 , temos que fazendo y = λ

X = 2 - 1 , 1 , 4 + λ - 1,1 , 0

X = 1,1 , 4 + λ - 1,1 , 0 ,     λ ∈ R

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

X = 1,1 , 4 + λ - 1,1 , 0 ,   λ ∈ R

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