USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 -Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 1.5a
Sejam curvas diferenciáveis. Verifique as seguintes propriedades:
;
Passo 1
Eaew, belezinha?
O enunciado nos define três curvas da forma e nos pede para verificar algumas propriedades, nesta alternativa iremos começar tentando mostrar que
;
em que indica um produto escalar, e são derivadas em relação ao parâmetro . Vamos expandir o produto escalar e aplicar a derivada para tentarmos demonstrar essa afirmativa! Vem comigo!
Passo 2
Temos que o produto escalar pode ser expandido como
se derivarmos precisamos usar a regra do produto em cada componente, sendo assim obtemos
ou expandindo
Note que multiplicando os componentes derivados de temos sempre um componente não derivado de , ou seja, podemos identificar
e, da mesma forma, podemos obter
de maneira que podemos garantir que
Como queríamos demonstrar! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!