Sejam γ1, γ2, γ3: I ⊆ ℜ → ℜ^3 curvas diferenciáveis. Verifique as seguintes propriedades:

a < γ₁(t), γ₂(t) > = < γ₁'(t), γ₂(t) > + < γ₁(t), γ₂'(t) > ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos define três curvas da forma γ 1 ,   γ 2 , γ 3 : I ⊆ ℜ → ℜ 3 e nos pede para verificar algumas propriedades, nesta alternativa iremos começar tentando mostrar que

a .   < γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) > ' = < γ ' 1 ( t ) , γ 2 ( t ) >   +   < γ 1 ( t ) , γ 2 ' ( t ) > ;

em que < . . . > indica um produto escalar, e ' são derivadas em relação ao parâmetro t . Vamos expandir o produto escalar e aplicar a derivada para tentarmos demonstrar essa afirmativa! Vem comigo!

Passo 2

Temos que o produto escalar pode ser expandido como

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) > = γ 1 x ( t ) γ 2 x ( t ) + γ 1 y ( t ) γ 2 y ( t ) + γ 1 z ( t ) γ 2 z ( t )

se derivarmos precisamos usar a regra do produto em cada componente, sendo assim obtemos

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) > ' = [ γ 1 x ( t ) γ 2 x ( t ) ] ' + [ γ 1 y ( t ) γ 2 y ( t ) ] ' + [ γ 1 z ( t ) γ 2 z ( t ) ] '

ou expandindo

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) > ' = γ 1 x ' ( t ) γ 2 x ( t ) + γ 1 x ( t ) γ 2 x ' ( t ) + γ 1 y ' ( t ) γ 2 y ( t ) + γ 1 y ( t ) γ 2 y ' ( t ) + γ 1 z ' ( t ) γ 2 z ( t ) + γ 1 z ( t ) γ 2 z ' ( t )

Note que multiplicando os componentes derivados de γ 1 ( t ) temos sempre um componente não derivado de γ 2 ( t ) , ou seja, podemos identificar

γ 1 x ' ( t ) γ 2 x ( t ) + γ 1 y ' ( t ) γ 2 y ( t ) + γ 1 z ' ( t ) γ 2 z ( t ) = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) >

e, da mesma forma, podemos obter

γ 1 x ( t ) γ 2 x ' ( t ) + γ 1 y ( t ) γ 2 y ' ( t ) + γ 1 z ( t ) γ 2 z ' ( t ) = < γ 1 ( t ) , γ 2 ' ( t ) >

de maneira que podemos garantir que

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) > ' = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 2 ' ( t ) >

Como queríamos demonstrar! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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