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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.2

2.2. Ache os pontos do hiperboloide x 2 - y 2 + 2 z 2 = 1 nos quais a reta normal é paralela à reta que une os pontos 3 , - 1,0 e 5,3 , 6 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nossa tarefa é obter os pontos na superfície de x 2 - y 2 + 2 z 2 = 1 em que a reta normal é paralela a reta que une os pontos 3 , - 1,0 e 5,3 , 6 .

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Para obter o vetor normal a uma superfície em um ponto, podemos calcular o gradiente da função e aplicar o ponto a ele, ou seja

n → = ∇ F P 0

Já para verificarmos se n → é paralelo a reta que liga P 1 = 3 , - 1,0 e P 2 = 5,3 , 6 , podemos descobrir o vetor diretor d → = P 2 - P 1 e verificar se n → é múltiplo de d → .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter o vetor normal genérico a F sendo F = x 2 - y 2 + 2 z 2 .

Calculando o gradiente de F , temos

∇ F = ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z

∇ F = ∂ x 2 - y 2 + 2 z 2 ∂ x , ∂ x 2 - y 2 + 2 z 2 ∂ y , ∂ x 2 - y 2 + 2 z 2 ∂ z

∇ F = 2 x , - 2 y , 4 z

Aplicando o ponto genérico P 0 = x 0 , y 0 , z 0 , temos

∇ F P 0 = 2 x 0 , - 2 y 0 , 4 z 0

Portanto, o vetor normal n → é dado genericamente por

n → = 2 x 0 , - 2 y 0 , 4 z 0

Agora vamos obter o vetor diretor da reta que liga P 1 e P 2 ...

d → = P 2 - P 1

d → = 5,3 , 6 - 3 , - 1,0

d → = 5 - 3,3 - - 1 , 6 - 0

Simplificando...

d → = 2,4 , 6

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Assim, se n → e d → são paralelos, então

n → = c d →

2 x 0 , - 2 y 0 , 4 z 0 = c 2,4 , 6

2 x 0 = 2 c - 2 y 0 = 4 c 4 z 0 = 6 c → x 0 = c y 0 = - 2 c z 0 = 6 c 4

Substituindo x 0 , y 0 e z 0 na equação da superfície, vamos obter

x 2 - y 2 + 2 z 2 = 1 → c 2 - - 2 c 2 + 2 6 c 4 2 = 1

c 2 - 4 c 2 + 2 36 c 2 16 = 1

Simplificando...

c 2 - 4 c 2 + 36 c 2 8 = 1

3 c 2 2 = 1

c 2 = 2 3 → c = ± 2 3  

E finalmente, substituindo c no sistema

x 0 = ± 2 3 y 0 = ∓ 2 2 3 z 0 = 6 ± 2 3 4 → x 0 = ± 2 3 y 0 = ∓ 2 2 3 z 0 = ± 3 2

Ou seja, temos dois pontos onde os requisitos do problema são atendidos...

P 3 = 2 3 , - 2 2 3 ,   3 2

P 4 = - 2 3 , 2 2 3 ,   - 3 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

P 3 = 2 3 , - 2 2 3 ,   3 2

P 4 = - 2 3 , 2 2 3 ,   - 3 2

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