USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 5 - Curvas no R3, Superfícies de Nível, Questão 2.3
2.3. Seja e considere o plano tangente à superfície num ponto do primeiro octante. Mostre que o tetraedro formado por este plano e os planos coordenados tem volume independente do ponto de tangência.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema queremos mostrar que o volume do tetraedro formado pelo plano tangente a no primeiro octante independe do ponto de tangencia, ou seja, para qualquer ponto de tangencia, o volume do tetraedro é igual.
E aí, tem ideia do que fazer? 🤔
Primeiro vamos obter o plano tangente a pela fórmula
E o volume do tetraedro é dado por
Onde é a área da base e é a altura.
Vamos chamar de , e os valores em que o plano corta seus respectivos eixos, assim, podemos reescrever o volume do tetraedro como
Com isso, temos que encontrar uma maneira de relacionar o plano tangente com o volume do tetraedro...
Sacou? Bora começar! 😬
Passo 2
Se , então
Fazendo e calculando as derivadas parciais de
Substituindo da fórmula do plano tangente...
Simplificando...
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Para encontrar onde uma coordenada corta seu eixo, fazemos as duas outras coordenadas iguais a , ou seja, para saber onde o plano corta o eixo , fazemos e .
Agora obtendo fazemos
Por último, fazendo e
Bacana, não é? 😁
Passo 4
Por último, substituímos , e em
Calculando o primeiro produto e simplificando...
Calculando o segundo produto e simplificando
Porém, se analisarmos a equação dada inicialmente
Vemos que todo produto tem que ser obrigatoriamente , ou seja
Como chegamos em um resultado constante, então verificamos a afirmação do enunciado!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
