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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

14) Seja S a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que se encontra dentro do paraboloide

z = x 2 + y 2 3

Calcule a massa de S sabendo que a densidade de massa em cada ponto x ,   y ,   z ∈ S é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo z .

Passo 1

Bem, uma massa de um pedaço de superfície S é nos dado agora por uma integral de superfície caso escalar e sua cara é...

M S = ∬ S   ρ x ,   y ,   z   d S

No caso, ρ x ,   y ,   z é a função de densidade que já já descobriremos quem é. ;)

Bem, como estamos trabalhando com uma integral de superfície, podemos muito bem utilizar o passo a passo maroto para detonar o problema imposto:

  1. 1º - Parametrizar a superfície S .
  2. 2º - Substituir os termos da parametrização na função ρ ( x ,   y ,   z ) .
  3. 3º - Encontrar o termo d S .

Passo 2

Antes de começarmos o passo a passo da resolução da integral de superfície, vamos descobrir quem é essa integral descobrindo quem é a função de densidade   ρ x ,   y ,   z , primeiro.

Para encontra-la, basta seguir as informações do enunciado:

  • Ela é igual a distância de um ponto x ,   y ,   z ao eixo z ao quadrado.

Tenha em mente que o eixo z é caracterizado por ter pontos 0 ,   0 ,   z .

Ora! A distância de um ponto qualquer x ,   y ,   z a esse eixo 0 ,   0 ,   z , é dado por:

d = x - 0 2 + y - 0 2 + z - z 2

d = x 2 + y 2

Então...

ρ x ,   y ,   z = d 2 = x 2 + y 2

Passo 3

Vamos resolver então o primeiro passo de resolução de integral de superfície parametrizando S . Por falar nisso, quem é a superfície?

Para termos uma noção do que fazermos, recomendo fortemente que desenhe a superfície: a superfície é um pedaço da esfera de raio 2 , mas queremos apenas a parte dentro do paraboloide...

Passo 4

Hmmm! Superfície esférica não nos parece uma má ideia parametriza-la com as primas das coordenadas polares com a diferença que o raio é 2 :

x = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ

z = 2 cos ⁡ ϕ

Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...

r → ϕ ,   θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ

Onde temos que descobrir agora onde os parâmetros variam. Vem comigo !

Passo 5

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas esféricas, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo z :

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

O ângulo ϕ , que sai do eixo z descendo, sai no exatamente do eixo z , logo...

0   ≤ ϕ ≤ l i m i t e

O limite da esfera é dado pela intersecção dela, x 2 + y 2 + z 2 = 4 , com o paraboloide z = x 2 + y 2 3 ...

3 z = x 2 + y 2     →       x 2 + y 2 + z 2 = 4           →

3 z + z 2 = 4   →         z 2 + 3 z - 4 = 0       →           z 1 = 1 z 2 = - 4

Com z = - 4 está completamente fora, peguemos z = 1 e substituímos as coordenadas esféricas...

      z = 1   →       2 cos ⁡ ϕ = 1       →         cos ⁡ ϕ = 1 2

Nesse caso o ϕ só pode ser 60 ° = π 3 ...

0 ≤ ϕ ≤ π 3

Passo 6

Concluída esta etapa, encontremos a função ρ x ,   y ,   z que estamos integrando em termos dos parâmetros:

  ρ x ,   y ,   z = x 2 + y 2

Mudando para a parametrização...

r → ϕ ,   θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ

  ρ r → x ,   y = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 →

ρ r → x ,   y = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ →

ρ r → x ,   y = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ →

ρ r → x ,   y = 4 sin 2 ⁡ ϕ

Passo 7

Beleza, então com essas etapas concluídas, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d ϕ d θ

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → ϕ ,   θ ∂ ϕ × ∂ r → ϕ ,   θ ∂ θ

Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no d S corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...

r → ϕ ,   θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ

  ∂ r → ϕ ,   θ ∂ ϕ = 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   - 2 sin ⁡ ϕ

∂ r → ϕ ,   θ ∂ θ = - 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   0

Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante, lembrando que a primeira linha são os vetores i → , j → e k → )...

N → = ∂ r → u ,   v ∂ u × ∂ r → u ,   v ∂ v

N → = i → j → k → 2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ - 2 sin ⁡ ϕ - 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 0                 →

N → = 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j → + 4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ k → - - 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i → - 4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ k →   →

N → = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i → + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j → + 4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ k → + 4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ k →   →

N → = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i → + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j → + 4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )   k →   →

N → = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i → + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j → + 4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ )   k →  

Logo...

N → = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ

Como queremos o módolo...

N → = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 + 4 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 2   →

N → = 4 2 sin 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 4 2 sin 4 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ + 4 2 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ   →

N → = 4 2 sin 4 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + 4 2 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ   →

N → = 4 2 sin 4 ⁡ ϕ + 4 2 cos 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ   →

N → = 4 2 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ + sin 2 ⁡ ϕ   →

N → = 4 2 sin 2 ⁡ ϕ   →

Como o ϕ é menor que 90 ° , o seu seno é positivo, logo...

N → = 4 sin ⁡ ϕ

d S = 4 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ

Passo 8

Passo 9

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

∬ S   ρ x ,   y ,   z   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de ϕ e θ ).

∬ S   ρ x ,   y ,   z   d S = ∬ D   4 sin 2 ⁡ ϕ   4 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

16 ∬ D   sin 3 ⁡ ϕ   d ϕ d θ

16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin 3 ⁡ ϕ   d ϕ d θ = 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

Substituindo sin 2 ⁡ ϕ = 1 - cos 2 ⁡ ϕ ...

16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ ) sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ - 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

Calculando a primeira...

16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ - 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

16 ∫ 0 2 π - cos ⁡ π 3 - - cos ⁡ 0 d θ - 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

16 - 1 2 + 1 ∫ 0 2 π d θ - 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

16 π - 16 ��� 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

Calculando a segunda integral...

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

∫ 0 2 π - cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π 3 d θ =

- cos 3 ⁡ π 3 3 - - cos 3 ⁡ 0 3 ∫ 0 2 π d θ =

- 1 8 3 - - 1 3 2 π =

- 1 24 + 1 3 2 π = - 1 + 8 24 2 π =

7 π 12

Voltando e substituindo...

16 π - 16 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ d θ =

16 π - 16 7 π 12 = 16 π - 28 π 3 =

20 π 3

Resposta

20 π 3

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