Calcule o fluxo de , através da superfície , parte do cilindro , limitado pelo plano e pelo cone , com vetor normal apontando para fora de .
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é parametrizar esse cilindro que ele deu,
Antes, reorganizar essa equação do cilindro aqui:
Veja que temos um cilindro deslocado da origem, certo? Sua parametrização fica assim
Mas e o ? Ele deu uma restrição meio louca ali, como vamos fazer essa restrição? Repara que o valor de vai de até o cone, ou seja,
Dando uma arrumadinha nisso vamos ter
Passo 2
A Integral vai ser
Temos que achar o nosso vetor normal
Nossa superfície é essa aqui, portanto
Com essa orientação a parada vai ficar com e negativos, mas ele quer que fique para fora, então basta trocarmos os sinais do vetor normal
Passo 3
A nossa integral vai ficar
Lembrando que
A integral vai ficar
Quando formos fazer essa raiz devemos ficar atento aos limites de integração, quando estivermos de à essa parada é positiva, e de à essa raiz é negativa, isso porque quando tiramos a raiz de um cara ao quadrado pegamos o módulo dele. A integral vai ficar
Tudo se resume a fazer essa integral do cosseno
Passo 4
Vamos resolver
Primeiro vamos fazer
A integral vai ficar
Agora vamos ter
Vamos fazer
A integral fica
Voltando para
Agora voltando para
Passo 5
Vamos voltar agora para a integral do passo 3
Vai ficar