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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

a) f x ,   y ,   z = x 2 z e S : x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 , com 0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Bem, primeiro, como vimos, devemos parametrizar a superfície S . Porém, antes de fazermos isso, é bem válido que antes façamos um esboço da superfície par entendermos melhor o problema e o que ele pede:

No nosso caso, trabalhamos com um cilindro de um raio a qualquer centrado em z , variando de 0 ≤ z ≤ 1 :

Bem, mas não se preocupe com desenhos! São apenas esboços que pode ajudar, mas o que realmente queremos é a parametrização, bora?

Passo 3

Bem, estamos trabalhando com um pedaço de cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilíndricas:

x = R cos ⁡ θ

y = R sin ⁡ θ

z = z

Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo θ e o próprio z , esse R desaparece virando o raio do cilindro que estamos trabalhando...

R = a

Logo a parametrização é...

x = a cos ⁡ θ

y = a sin ⁡ θ

z = z

Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...

r → θ ,   z = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ ,   z

Passo 4

Como você já provavelmente sabe, não saímos de uma parametrização sem antes de sabermos onde os parâmetros variam.

Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas, o ângulo θ gira no plano x y ao redor do eixo do cilindro:

Como pode ver na projeção da superfície no plano x y , precisamos de um θ dando uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto isso, o z varia entre...

0 ≤ z ≤ 1

Passo 5

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = x 2 z

Pelos termos da parametrização...

r → θ ,   z = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ ,   z

O que significa que onde tem x ,   y   e z , trocaremos por...

x = a cos ⁡ θ

y = a sin ⁡ θ

z = z

Logo...

f x ,   y ,   z = x 2 z         →             f r → u ,   v = a cos ⁡ θ 2 z   →

f r → u ,   v = a 2 cos 2 ⁡ θ ⋅ z

Passo 6

Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d z d θ

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → θ ,   z ∂ θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no d S corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...

r → θ ,   z = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ ,   z           →  

  ∂ r → θ ,   z ∂ θ = - a sin ⁡ θ , a cos ⁡ θ ,   0

∂ r → θ ,   z ∂ z = 0,0 ,   1

Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores i → , j → e k → ...

N → = ∂ r → θ ,   z ∂ θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

N → = i → j → k → - a sin ⁡ θ a cos ⁡ θ 0 0 0 1                 →

N → = a cos ⁡ θ i →   - - a sin ⁡ θ   j → =

a cos ⁡ θ i → + a   sin ⁡ θ   j →

Então

N → = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ ,   0

Bem, ainda não concluímos o termo d S , pois ele nos exige o módulo de N → , então devemos extrair a raiz quadrada...

N → = a cos ⁡ θ 2 + a sin ⁡ θ 2 + 0 2

N → = a 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 sin 2 ⁡ θ

N → = a 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

N → = a 2 = a

d S = a   d z d θ

Passo 7

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

∬ S   f x ,   y ,   z d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de u e v ).

∬ S   f x ,   y ,   z d S = ∬ D   a 2 cos 2 ⁡ θ ⋅ z   a   d z d θ =

a 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 cos 2 ⁡ θ ⋅ z   d z d θ =

Integrando a de dentro considerando cos 2 ⁡ θ como constante...

a 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ ∫ 0 1 z   d z d θ =

a 3 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ z 2 2 0 1 d θ = a 3 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 ...

a 3 2 ∫ 0 2 π 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

a 3 2 1 2 θ + sin ⁡ 2 θ 4 0 2 π =

a 3 π 2

Resposta

a 3 π 2

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