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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Seja S a superfície de rotação obtida girando C = x , y , 0 ∈ R 3 ; x = ln ⁡ y ,   3 ≤ y ≤ 8 em torno do eixo x . Calcule a massa de S , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo x .

Passo 1

A primeira coisa a fazer aqui é parametrizar a superfície S , ela é uma superfície de revolução, onde estamos revolucionando x = ln ⁡ y e estamos rodando em torno do eixo x , então vamos ter

y t = t

x t = ln ⁡ t

A parametrização vai ficar

φ θ , t = ln ⁡ t , t cos ⁡ θ , t sen ⁡ θ

Onde t ∈ 3 , 8 e θ ∈ 0,2 π

Passo 2

A massa vai ser

M = ∬ S d e i x o   x d S

Essa distância ao eixo x vai ser

d e i x o   x = y 2 + z 2

Ele disse proporcional, então vamos ter a seguinte integral,

M = ∬ S k y 2 + z 2 d S

Com k sendo a constante de proporcionalidade

Passo 3

A integral vai ser

M = k ∬ S y 2 + z 2 d S

Vamos calcular agora o vetor normal

Passo 4

N t , θ = i j k ∂ φ x ∂ t ∂ φ y ∂ t ∂ φ z ∂ t ∂ φ x ∂ θ ∂ φ y ∂ θ ∂ φ z ∂ θ

N t , θ = i j k 1 t cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - t sen ⁡ θ t cos ⁡ θ

N t , θ = t cos 2 ⁡ θ i + 0 j + - sen ⁡ θ k - 0 k - cos ⁡ θ j - - t sen 2 ⁡ θ i

N t , θ = t cos 2 ⁡ θ + t sen 2 ⁡ θ i - cos ⁡ θ j + - sen ⁡ θ k

N t , θ = t i - cos ⁡ θ j + - sen ⁡ θ k

N t , θ = t 2 + - cos ⁡ θ 2 + - sen ⁡ θ 2 = t 2 + cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 = t 2 + 1

Passo 5

A integral vai ficar

M = k ∬ S y 2 + z 2 d S

M = k ∫ 0 2 π ∫ 3 8 t cos ⁡ θ 2 + t sen ⁡ θ 2 t 2 + 1 d t d θ

M = k ∫ 0 2 π ∫ 3 8 t 2 cos 2 ⁡ θ + t 2 sen 2 ⁡ θ t 2 + 1 d t d θ

M = k ∫ 0 2 π ∫ 3 8 t 2 t 2 + 1 d t d θ

M = k ∫ 0 2 π ∫ 3 8 t t 2 + 1 d t d θ

Temos que resolver essa integral, vamos fazer separado e depois voltamos para ela

Passo 6

∫ t t 2 + 1 d t

Vamos fazer t 2 + 1 = u

d u = 2 t d t

t d t = d u 2

Essa integral vai ficar

∫ u d u 2 = ∫ u 1 / 2 d u 2 = u 1 / 2 + 1 2 1 / 2 + 1 = u 3 / 2 2 3 2 = u 3 / 2 3

Voltando para t

u 3 / 2 3 = t 2 + 1 3 / 2 3

Passo 7

Voltando para a integral dupla

M = k ∫ 0 2 π ∫ 3 8 t t 2 + 1 d t d θ = ∫ 0 2 π t 2 + 1 3 / 2 3 t = 3 8 d θ

⇒ k ∫ 0 2 π 8 2 + 1 3 / 2 3 - 3 2 + 1 3 / 2 3 d θ

⇒ k ∫ 0 2 π 8 + 1 3 / 2 3 - 3 + 1 3 / 2 3 d θ

⇒ k ∫ 0 2 π 9 3 / 2 3 - 4 3 / 2 3 d θ

⇒ k ∫ 0 2 π 27 3 - 8 3 d θ

⇒ k ∫ 0 2 π 27 3 - 8 3   d θ

⇒ k ∫ 0 2 π 19 3   d θ

⇒ k 19 3   θ θ = 0 2 π

⇒ k 19 3 2 π - 0

⇒ k 19 3 2 π = 38 k π 3

Resposta

38 k π 3

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