Calcule , onde
e é a esfera , com exterior.
Passo 1
Esse campo vetorial assusta né? Tem um termo muito grande multiplicado em todos os três termos! Fica tranquilo, quando fizermos a substituição dos parâmetros da superfície isso vai ficar mais fácil.
Temos aqui uma questão típica de integral de superfície caso vetorial, para resolvê-la vamos precisar parametrizar a superfície, encontrar os seus limites, seu vetor normal e, por fim, jogar tudo na integral e fazer o seguinte produto escalar
Vamos começar parametrizando a superfície . Ela é uma esfera completa de raio , certo? Então a parametrização esférica fica assim
Os limites dessa parametrização são os de uma esfera inteira, esse aqui
Passo 2
Para calcular o vetor normal vamos precisar fazer o seguinte produto vetorial
Precisamos calcular as derivadas da superfície
Todos os sinais deram negativos, certo? Quer dizer que essa normal, graficamente, está apontada para dentro da esfera! O enunciado pede a normal exterior, o que não é problema, só vamos inverter esses sinais
Passo 3
Vamos substituir agora os parâmetros da superfície nos termos do campo vetorial . Será esses novos valores que vamos colocar na integral
Vamos fazer isso aqui com calma, cada termo de uma vez. Primeiramente
Perceba que, com os parâmetros que usamos, esse termo é exatamente igual a . Com isso, sempre que ele aparecer vamos substituir com esse valor direto
Passo 4
Beleza, antes de substituir tudo na integral, vamos fazer o produto escalar separado pra ficar mais claro
Todos os termos da esquerda têm esse no denominador e todos na direita tem o mesmo termo no numerador, né? Então todos eles vão se cortar! O produto escalar fica assim
Portanto só sobra esse termo dentro da integral!
Passo 5
Nossa integral vai ser bem simples então