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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

k) F → x ,   y ,   z = x i → + - y j → e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , a ≥ 0 , no primeiro octante e n → apontando para a origem.

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Pow, perceba que a superfície é um pedaço de esfera de raio a . Parametrizar isso pode ser feito com as coordenadas esféricas dessa forma aqui

x = a sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = a sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = a cos ⁡ φ

A parametrização final então é:

σ θ ,   φ = a sin ⁡ φ cos ⁡ θ , a sin ⁡ φ sin ⁡ θ , a cos ⁡ φ  

Perceba que a não é parâmetro e sim um número que “conhecemos”, uma constante.

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são θ E φ .

θ está variando de 0 até 90 ° pois está delimitado ao primeiro octante:

0 ≤ θ ≤ π 2

Enquanto o φ , também...

0 ≤ φ ≤ π 2

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d z d θ

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ z × ∂ σ ∂ θ

Como

σ θ ,   φ = a sin ⁡ φ cos ⁡ θ , a sin ⁡ φ sin ⁡ θ , a cos ⁡ φ  

Então deveríamos derivar tuuudo o que daria um trabalhão. Como a esfera de centro na origem aparece muuuito na nossa vida, esse vetor normal é bom memorizarmos. Mas não se preocupe que tem um macete:

N → = a sin ⁡ φ ⋅ σ θ ,   φ   →

N → = a 2 sin ⁡ φ sin ⁡ φ cos ⁡ θ , sin ⁡ φ sin ⁡ θ , cos ⁡ φ  

a 2 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ θ , a 2 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ , a 2 sin ⁡ φ cos ⁡ φ  

Como buscamos o vetor normal apontado para a origem, devemos inverter o sinal...

n → d S = - a 2 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ θ , - a 2 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ , - a 2 sin ⁡ φ cos ⁡ φ   d θ d φ

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F → , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F → x ,   y ,   z = x i → + - y j →

F → σ φ ,   θ = a sin ⁡ φ cos ⁡ θ ,   - a sin ⁡ φ sin ⁡ θ , 0  

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 a sin ⁡ φ cos ⁡ θ ,   - a sin ⁡ φ sin ⁡ θ , 0   ⋅ - a 2 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ θ , - a 2 sin 2 ⁡ φ sin ⁡ θ , - a 2 sin ⁡ φ cos ⁡ φ     d φ d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 - a 3 sin 3 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + a 3 sin 3 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ   d φ d θ =

a 3 ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ φ sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ   d φ d θ

Bora calcular a integral? 😊

Passo 7

Como a integral é iterada e os limites das variáveis são números, podemos...

a 3 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ d θ ⋅ ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ φ d φ =

Por trigonometria

cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ

Então...

a 3 ∫ 0 π 2 - cos ⁡ 2 θ d θ ⋅ ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ φ d φ =

Veja, calculando a primeira integral em θ ...

∫ 0 π 2 - cos ⁡ 2 θ d θ = - sin ⁡ 2 θ 0 π 2 =

- sin ⁡ π + sin ⁡ 0 = 0

Olha que legal! Nem precisamos calcular a segunda integral, pois como é um produto, o resultado é

a 3 ∫ 0 π 2 - cos ⁡ 2 θ d θ ⋅ ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ φ d φ = 0

Resposta

0

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