23) Calcule
a) e é a parte da esfera fora do cilindro , apontando para fora.
Passo 1
Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!
No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo
3º - Trocar os termos da função pelos termos da parametrização.
Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊
Passo 2
A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...
E é ela quem queremos parametrizar!
Pow, a superfície é uma parte da esfera de raio e parametrizar uma esfera é utilizando as primas das coordenadas esféricas:
A parametrização final então é:
Passo 3
Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são e .
Esses caras variam...
Comparando com a superfície que a gente tem, veja que tem que dar uma volta completa, logo...
Enquanto que , tem que varia nos limites definido pelo cilindro. Calculando esses limites vamos descobrir...
Como pela mudança é...
Logo...
Então a gente pode afirmar que...
Passo 4
Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo , o que devemos fazer agora é encontrar o termo e que pode ser encontrado, fazendo:
Onde é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)
Todos os sinais deram negativos, certo? Quer dizer que essa normal, graficamente, está apontada para dentro da esfera! O enunciado pede a normal exterior, o que não é problema, só vamos inverter esses sinais
Então o termo fica sendo...
Passo 5
Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:
Logo...
Passo 6
Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:
E trocar todos os três caras que descobrimos, onde é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:
Bora calcular a integral? 😊
Passo 7
Fazendo uma mudança do tipo...
Mudando também os limites de integração...