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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

a) F → x ,   y ,   z = - z k → e S é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 fora do cilindro x 2 + y 2 = 1 , n → apontando para fora.

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...

E é ela quem queremos parametrizar!

Pow, a superfície é uma parte da esfera de raio 2 e parametrizar uma esfera é utilizando as primas das coordenadas esféricas:

x = 2 sin ⁡ φ cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ

z = 2 cos ⁡ φ

A parametrização final então é:

σ φ ,   θ = 2 sin ⁡ φ cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ φ sin ⁡ θ , 2 cos ⁡ φ  

Passo 3

Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são φ e θ .

Esses caras variam...

Comparando com a superfície que a gente tem, veja que θ tem que dar uma volta completa, logo...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto que φ , tem que varia nos limites definido pelo cilindro. Calculando esses limites vamos descobrir...

x 2 + y 2 + z 2 = 4   x 2 + y 2 = 1           →

z 2 + 1 = 4     →

z 2 = 3     →

z = ± 3

Como z pela mudança é...

2 cos ⁡ φ = ± 3

Logo...

cos ⁡ φ = ± 3 2                 →               φ = 30 °   e   150 °

Então a gente pode afirmar que...

π 6 ≤ φ ≤ 5 π 6

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d φ d θ

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ φ × ∂ σ ∂ θ

∂ σ ∂ θ = - 2 sen ⁡ θ sen ⁡ φ , 2 cos ⁡ θ sen ⁡ φ , 0

∂ σ ∂ φ = 2 cos ⁡ θ cos ⁡ φ , 2 sen ⁡ θ cos ⁡ φ , - 2 sen ⁡ φ

N → = i j k - 2 sen ⁡ θ sen ⁡ φ 2 cos ⁡ θ sen ⁡ φ 0 2 cos ⁡ θ cos ⁡ φ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ φ - 2 sen ⁡ φ

= ( - 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , - 4 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , - 4 sen ⁡ φ cos ⁡ φ )

Todos os sinais deram negativos, certo? Quer dizer que essa normal, graficamente, está apontada para dentro da esfera! O enunciado pede a normal exterior, o que não é problema, só vamos inverter esses sinais

N → = 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , 4 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , 4 sen ⁡ φ cos ⁡ φ

Então o termo n → d S fica sendo...

n → d S = 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , 4 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , 4 sen ⁡ φ cos ⁡ φ   d φ d θ

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F → , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:

F → x ,   y ,   z = - z k →

Logo...

F → x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   - 2 cos ⁡ φ

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos, onde S é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 2 π ∫ π 6 5 π 6 0 ,   0 ,   - 2 cos ⁡ φ ⋅ 4 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , 4 sen ⁡ θ sen 2 ⁡ φ , 4 sen ⁡ φ cos ⁡ φ   d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ π 6 5 π 6 - 8 sen ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ

Bora calcular a integral? 😊

Passo 7

∫ 0 2 π ∫ π 6 5 π 6 - 8 sen ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ =

Fazendo uma mudança do tipo...

cos ⁡ φ = a     →           d a = - sin ⁡ φ d φ

Mudando também os limites de integração...

φ = π 6             →                 a = cos ⁡ π 6 = 3 2

φ = 5 π 6             →                 a = cos ⁡ 5 π 6 = - 3 2

∫ 0 2 π ∫ π 6 5 π 6 - 8 sen ⁡ φ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ = 8 ∫ 0 2 π ∫ 3 2 - 3 2 a 2   d a d θ =

8 ∫ 0 2 π a 3 3 3 2 - 3 2 d θ = 8 - 3 2 3 3 - 3 2 3 3 ⋅ 2 π =

8 - 3 3 4 3 ⋅ 2 π = - 4 3 π

Resposta

- 4 3 π

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