23) Calcule
b) e é a parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e , apontando para o eixo .
Passo 1
Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!
No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo
3º - Trocar os termos da função pelos termos da parametrização.
Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊
Passo 2
A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...
E é ela quem queremos parametrizar!
Pow, perceba que a superfície é um pedaço de um cilindro de raio . Parametrizar isso pode ser feito com as coordenadas cilíndricas dessa forma aqui
A parametrização final então é:
Passo 3
Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são E .
está variando de até pois está delimitado ao primeiro octante:
Enquanto o ...
Colocando nas novas coordenadas...
Passo 4
Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo , o que devemos fazer agora é encontrar o termo e que pode ser encontrado, fazendo:
Onde é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)
Como
Então...
Como queremos o vetor que está pra dentro, ou seja, apontando para o eixo... Então o termo fica sendo...
Passo 5
Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:
Como
Repare que não substituímos o último cara, e o motivo é porque não precisa. Ora, o vetor normal zerou essa posição, saca :)!
Passo 6
Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:
E trocar todos os três caras que descobrimos, onde é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:
Bora calcular a integral? 😊