12) Seja a porção do cilindro , com , limitada pelo plano e pelo plano . Calcule a massa de , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .
Passo 1
Bem, uma massa de um pedaço de superfície é nos dado agora por uma integral de superfície escalar e sua cara é...
No caso, é a função de densidade que já já descobriremos quem é. ;)
Bem, como estamos trabalhando com uma integral de superfície, podemos muito bem utilizar o passo a passo maroto para detonar o problema imposto:
- 1º - Parametrizar a superfície .
- 2º - Substituir os termos da parametrização na função .
- 3º - Encontrar o termo .
Passo 2
Antes de começarmos o passo a passo da resolução da integral de superfície, vamos descobrir quem é essa integral descobrindo quem é a função de densidade, primeiro.
Para encontra-la, basta seguir as informações do enunciado:
- Ela é igual a distância de um ponto ao eixo ao quadrado.
Tenha em mente que o eixo é caracterizado por ter pontos .
Ora! A distância de um ponto qualquer a esse eixo , é dado por:
Então...
Passo 3
Vamos resolver então o primeiro passo de resolução de integral de superfície parametrizando . Por falar nisso, quem é a superfície?
Para termos uma noção do que fazermos, recomendo fortemente que desenhe a superfície. Ela é um pedaço de um cilindro de raio , mas delimitada por um plano e com ...
Passo 4
Bem, estamos trabalhando com um pedaço de cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilíndricas:
Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo e o próprio , esse desaparece virando o raio do cilindro que estamos trabalhando...
Logo a parametrização é...
Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...
Passo 5
Ok, porém nunca deixamos uma parametrização sem antes encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.
Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas, o ângulo gira no plano ao redor do eixo , como pode ver na projeção da superfície ...
Precisamos de um dando uma volta saindo de e indo até o ...
Enquanto isso, o varia entre os dois planos:
Como o plano azul é ...
Trocando o pelo parâmetro...
Passo 6
Concluída esta etapa, encontremos a função que estamos integrando em termos dos parâmetros:
Mudando para a parametrização...
Passo 7
Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo ...
Onde esse vetor normal é dado por...
Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...
Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores , e ...
Então
Bem, ainda não concluímos o termo , pois ele nos exige o módulo de , então devemos extrair a raiz quadrada...
Passo 8
Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...
E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que , trocamos por que é a região de variação de e ).
Integrando...