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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

9) Calcule

∬ S   f x ,   y ,   z d S

Onde

c) f x ,   y ,   z = x e S é a região retangular com vértices 1 ,   0 ,   0 , 0 ,   1 ,   0 e 0 ,   0 ,   1 .

Passo 1

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Bem, primeiro, como vimos, devemos parametrizar a superfície S . Porém, Quem é essa superfície? Como o próprio exercício nos indicou é o plano que passa pelos pontos...

1 ,   0 ,   0 , 0 ,   1 ,   0   e   0 ,   0 ,   1

Para parametrizar um plano, necessitamos da equação dele em mãos. Vem comigo, então!

Passo 3

A equação genérica de um plano é...

A x + B y + C z + D = 0

Onde pra encontrar esses A ,   B ,   C   e D , podemos simplesmente substituir os pontos e ver no que encontramos... Observa:

1 ,   0 ,   0       →             A 1 + B 0 + C 0 + D = 0     →

A + D = 0       →         A = - D

Substituindo o segundo ponto...

0 ,   1 ,   0         →           A 0 + B 1 + C 0 + D = 0     →

B + D = 0   →           B = - D

e o último...

0 ,   0 ,   1         →           A 0 + B 0 + C 1 + D = 0     →

C + D = 0     →           C = - D

Repare que é todo mundo igual, neh? Substituindo tudo na equação do plano...

- D x + - D y + - D z + D = 0   →

D - x - y - z + 1 = 0

Se o D não for zero (se fosse não teria plano), o plano é um múltiplo de...

- x - y - z + 1 = 0       →           x + y + z = 1

Que é uma das equações do mesmo plano representado por...

Passo 4

Parametrizar um plano, que tem uma equação explícita, pode ser feito utilizando a parametrização explícita...

                                          x = u

                                            y = v

x + y + z = 1       →       z = 1 - u - v

Com uma notação um pouco mais gentil...

r → u ,   v = u ,   v ,   1 - u - v

Mas não se esqueça de informar à região que e as novas variáveis variam. No caso, como u e v , são x e y , nada mais justo que olhar para a projeção (sombra ou visão de cima) da superfície no plano x y ...

Podemos descrever essa região como do sendo do Tipo 1 , pois y , ou melhor, v varia de zero a até a reta vermelho escuro. Note que essa reta acontece quando o plano passa por z = 0 ...

x + y + z = 1     →         x + y = 1   →         y = 1 - x     →

v = 1 - u

Logo...

0 ≤ v ≤ 1 - u

Enquanto o u , varia de 0 até ao ponto de encontro dessa reta com o eixo u ...

1 - u = 0     →           u = 1

0 ≤ u ≤ 1

Passo 5

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = z - x 2 - x y 2 - 1

Pelos termos da parametrização...

x = u

y = v

z = 1 - u - v

Logo...

f x ,   y ,   z = x         →             f r → u ,   v = u

Passo 6

Beleza, então com essas etapas concluídas, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d u d v

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → u ,   v ∂ u × ∂ r → u ,   v ∂ v

Mas como estamos utilizando uma parametrização como gráfico de função...

z = 1 - u - v

Podemos calcular N → pelo bizu...

N → = - ∂ z ∂ u ,   - ∂ z ∂ v , 1

Então

N → = 1 ,   1 ,   1

Extraindo o módulo...

N → = 1 2 + 1 2 + 1 2   →

N → = 3

Então...

d S = 3   d u d v

Passo 7

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

∬ S   f x ,   y ,   z d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de u e v ).

∬ S   f x ,   y ,   z d S = ∬ D   u   3   d u d v =

3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - u u   d v d u

Calculando essa integral dupla considerando a u como constante...

3 ∫ 0 1 u ∫ 0 1 - u   d v d u =

3 ∫ 0 1 u 1 - u d u =

3 ∫ 0 1 u - u 2   d u =

3 u 2 2 - u 3 3 0 1 = 3 1 2 - 1 3 =

3 6

Então...

∬ S   f x ,   y ,   z d S = 3 6

Resposta

3 6

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