Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 137123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

6) Seja S a superfície de equação 2 z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ k , k > 0 . Sabendo-se que a área de S vale 14 π 3 , determine o valor de k .

Passo 1

Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:

A S = ∬ S   1   d S

Acontece que o problema nos deu o valor dessa área...

A S = 14 π 3

Então...

∬ S   1   d S = 14 π 3

O que vamos fazer aqui é meio então que o processo inverso, sacou? Mas mesmo assim, eu recomendo você esquecer essa igualdade por hora e focar na resolução da integral normalmente.

Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo d S .

Passo 2

Precisamos da superfície parametrizada, mas antes, é mais vantajoso nos perguntarmos quem é a superfície S ?

Bem, como o próprio problema nos indicou, é o paraboloide 2 z = x 2 + y 2 , limitado entre os plano paralelos ao plano x y , z = 0 (o próprio plano x y ) e z = k , onde k é um número real, saca?

Não se preocupe na hora de fazer um esboço, afinal isso é apenas para nos dar uma noção de quem que estamos trabalhando. O que queremos mesmo é parametrizar isso daí, então bora?

Passo 3

Como estamos lidando com um paraboloide, podemos pensar em uma parametrização cilíndrica onde devemos mudar...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Como x 2 + y 2 = r 2 ...

2 z = x 2 + y 2   →         2 z = r 2       →

z = r 2 2

Então a parametrização em termos de r e θ é...

σ → r ,   θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   r 2 2

Passo 4

Nunca devemos sair de uma parametrização sem antes dizer onde os parâmetros variam.

Quanto ao ângulo θ , bem... Como ele é um ângulo que gira ao redor de z no plano x y e a superfície dá uma volta completa ao redor de z ...

θ varia...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já o raio r , ele depende inteiramente da variação de z pela própria relação que vimos:

z = r 2 2

Como z varia entre z = 0 e z = k ...

z = 0     →         r = 0

z = k   →     r 2 2 = k   →         r = 2 k

Então...

0 ≤ r ≤ 2 k

Não se preocupe, pois embora não pareça, esse k é um número, uma constante, e não uma variável ;)

Passo 5

Beleza, então com essa primeira etapa entregue de badeja para nós, podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d r d θ

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = σ → r ,   θ ∂ r × σ → r ,   θ ∂ θ

Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no d S corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...

σ → r ,   θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   r 2 2                       →                       ∂ σ → r ,   θ ∂ r = cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ ,   r

�� → r ,   θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   r 2 2                       →                       σ → r ,   θ ∂ θ = - r sin ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ ,   0

Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando que a primeira linha são os vetores i → , j → e k → ...

N → = ∂ r → u ,   v ∂ u × ∂ r → u ,   v ∂ v

N → = i → j → k → cos ⁡ θ sin ⁡ θ r - r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0                 →

N → = - r 2 sin ⁡ θ j → + r cos 2 ⁡ θ k → - r 2 cos ⁡ θ   i → - r sin 2 ⁡ θ   k →

N → = - r 2 cos ⁡ θ   i → - r 2 sin ⁡ θ j → + r cos 2 ⁡ θ k → + r sin 2 ⁡ θ   k →

N → = - r 2 cos ⁡ θ   i �� - r 2 sin ⁡ θ j → + r cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ k →

N → = - r 2 cos ⁡ θ   i → - r 2 sin ⁡ θ j → + r k →

Então

N → = - r 2 cos ⁡ θ ,   - r 2 sin ⁡ θ ,   r

Mas como precisamos do módulo, então...

N → = - r 2 cos ⁡ θ 2 + - r 2 sin ⁡ θ 2 + r 2     →

N → = r 4 cos 2 ⁡ θ + r 4 sin 2 ⁡ θ + r 2     →

N → = r 4 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + r 2

N → = r 4 + r 2 →

N → = r 2 1 + r 2

N → = r 1 + r 2

Então

d S = r 1 + r 2   d r d θ

Passo 6

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

14 π 3 = ∬ S   1   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S , trocamos por D que é a região de variação de x e y ).

∬ S   1   d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 k r 1 + r 2   d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 2 k r 1 + r 2   d r d θ

Fazendo uma substituição do tipo...

1 + r 2 = t       →           d t = 2 r d r           →             r d r = d t 2

Trocando os limites também...

r = 0         →             t = 1 + 0 2 = 1

r = 2 k         →             t = 1 + 2 k 2 = 1 + 2 k

∫ 0 2 π ∫ 0 2 k r 1 + r 2   d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 1 1 + 2 k t   d t 2 d θ =

∫ 0 2 π 1 2 2 3 t 3 2 1 1 + 2 k d θ = ∫ 0 2 π 1 2 2 3 t t 1 1 + 2 k d θ

∫ 0 2 π 1 2 2 3 1 + 2 k 1 + 2 k - 2 3 d θ =

�� 0 2 π 1 3 1 + 2 k 1 + 2 k - 1 3 d θ =

1 + 2 k 1 + 2 k - 1 3 ∫ 0 2 π d θ =

1 + 2 k 3 - 1 3 2 π

Como a área é 14 π 3 ...

14 π 3 = 1 + 2 k 3 - 1 3 2 π   →

1 + 2 k 3 - 1 = 7

Elevando ambos os lados ao quadrado...

1 + 2 k 3 = 8   →

1 + 2 k 3 = 64   →

Agora extraindo a raiz cúbica...

1 + 2 k = 64 3 →

1 + 2 k = 4 → k = 3 2

Resposta

3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1