3) Calcule a área da superfície dada por , com : .
Passo 1
Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:
Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo .
Passo 2
Precisamos da superfície parametrizada, mas pow!!! Para a nossa a legria a superfície já está parametrizada:
Onde esses parâmetros variam na região ...
Que nos representa uma circunferência de raio no plano :
Passo 3
Beleza, então com essa primeira etapa entregue de badeja para nós, podemos sair em busca do termo ...
Onde esse vetor normal é dado por...
Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...
Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando que a primeira linha são os vetores , e ...
Então
Passo 4
Bem, ainda não concluímos o termo , pois ele nos exige o módulo de , então devemos extrair a raiz quadrada...
Passo 5
Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...
E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que , trocamos por que é a região de variação de e ).
Como a região é uma circunferência, podemos aplicar a mudança para coordenadas polares para matar o problema...
Como gira saindo do eixo positivo girando no sentido anti-horário...
Vemos que ele precisa dar uma volta completa...
Enquanto que o varia da origem até o raio máximo...
Agora é só calcular essa integral aí e correr para o abraço.
Passo 6
Integrando em primeiro...
Fazendo uma substituição do tipo...
Trocando os limites também...