Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

Ver Teoria
Exercício 371234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

9) Calcule

∬ S   f x ,   y , z   d S

Onde

e) f x ,   y ,   z = x 2 y 2 e S é a porção do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 , no primeiro octante, entre os planos z = y e z = 2 y .

Passo 1

Estamos lidando nesse caso com uma integral de linha no caso escalar onde para resolver, seguiremos o passo a passo para a sua solução direta:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Substituir os termos da parametrização na função f x ,   y ,   z .

3º - Encontrar o termo d S .

Partiu chegar ao nosso objetivo?

Passo 2

Bem, primeiro, como vimos, devemos parametrizar a superfície S . Porém, Quem é essa superfície?

Bem, como a superfície está em cima de um cilindro, podemos realizar uma parametrização semelhante a mudança para coordenadas cilíndricas...

x = a cos ⁡ θ

y = a sin ⁡ θ

z = z

Embora a pareça uma variável, na verdade ela é o raio do cilindro que estamos em cima, logo ela é um número real “conhecido”, ok?

A parametrização de uma forma matemática mais elegante esta em termos de z e θ ...

r → θ ,   z = a cos ⁡ θ ,   a sin ⁡ θ ,   z

Passo 3

Como toda e qualquer parametrização, necessitamos de determinar onde é que os parâmetros θ e z estão variando.

Bem, θ , que sempre gira paralelo ao plano x y ,

percebemos que ele com essa parametrização gira de 0 até 90 ° :

0 ≤ θ ≤ π 2

Enquanto que z varia de um plano z = y e vai até o outro, z = 2 y (em cima do cilindro, é claro):

y ≤ z ≤ 2 y

Substituindo os parâmetros...

a sin ⁡ θ ≤ z ≤ 2 a sin ⁡ θ

Passo 4

Então, agora precisamos substituir os termos da função que estamos integrando...

f x ,   y ,   z = x 2 y 2

Como

r → θ ,   z = a cos ⁡ θ ,   a sin ⁡ θ ,   z

f r → x ,   y = x 2 y 2   →

f r → x ,   y = a cos ⁡ θ 2 a sin ⁡ θ 2   →

f r → x ,   y = a 4 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Passo 5

Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo d S ...

d S = N →   d z d θ

Onde esse vetor normal é dado por...

N → = ∂ r → θ ,   z ∂ θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no d S corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...

r → θ ,   z = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ ,   z           →  

  ∂ r → θ ,   z ∂ θ = - a sin ⁡ θ , a cos ⁡ θ ,   0

∂ r → θ ,   z ∂ z = 0,0 ,   1

Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores i → , j → e k → ...

N → = ∂ r → θ ,   z ∂ θ × ∂ r → θ ,   z ∂ z

N → = i → j → k → - a sin ⁡ θ a cos ⁡ θ 0 0 0 1                 →

N → = a cos ⁡ θ i →   - - a sin ⁡ θ   j → =

a cos ⁡ θ i → + a sin ⁡ θ   j →

Então

N → = a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ ,   0

Bem, ainda não concluímos o termo d S , pois ele nos exige o módulo de N → , então devemos extrair a raiz quadrada...

N → = a cos ⁡ θ 2 + a sin ⁡ θ 2 + 0 2

N → = a 2 cos 2 ⁡ θ + a 2 sin 2 ⁡ θ = a

d S = a   d z d θ

Passo 6

Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...

∬ S   f x ,   y , z   d S

E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que S 1 , trocamos por D que é a região de variação de z e θ ).

∬ S   f x ,   y , z   d S = ∬ D     d z d θ =

∫ 0 π 2 ∫ a sin ⁡ θ 2 a sin ⁡ θ a 4 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ ⋅ a   d z d θ

Resolvendo a integral de dentro...

∫ 0 π 2 a 5 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ ∫ a sin ⁡ θ 2 a sin ⁡ θ   d z d θ =

∫ 0 π 2 a 5 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ 2 a sin ⁡ θ - a sin ⁡ θ d θ =

∫ 0 π 2 a 5 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ a sin ⁡ θ d θ = a 6 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ sin 3 ⁡ θ d θ =

a 6 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Lembrando que sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ ...

a 6 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ =

Substituindo...

cos ⁡ θ = t       →         d t = - sin ⁡ θ d θ     →

sin ⁡ θ d θ = - d t

E também os limites...

θ = 0       →         t = cos ⁡ 0 = 1

θ = π 2       →         t = cos ⁡ π 2 = 0

a 6 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = a 6 ∫ 1 0 - t 2 - t 4 d t =

a 6 ∫ 0 1 t 2 - t 4 d t =

a 6 t 3 3 - t 5 5 0 1 =

a 6 1 3 - 1 5 = 2 a 6 15

Resposta

2 a 6 15

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de uma integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z = c
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1