23) Calcule
g) e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.
Passo 1
Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!
No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo
3º - Trocar os termos da função pelos termos da parametrização.
Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊
Passo 2
A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede chegamos na superfície...
E é ela quem queremos parametrizar!
Passo 3
Pow, veja que esse triângulo fica em cima de um plano e para parametrizarmos um plano, antes precisamos encontrar quem é esse plano.
Bem, a equação de um plano é sempre dessa forma aqui:
Queremos justamente esse , e . Se a gente tem os pontos, basta substituir no e , veja:
Jogando na equação do plano
Considerando então o diferente de , podemos multiplicar tudo por ...
Jogando tudo pra lá isolando o ...
A parametrização final então é:
Passo 4
Agora, a gente nunca deve terminar uma parametrização sem ao menos dizer onde estão variando os nossos parâmetros que no caso são E .
Veja que podemos encontrar esses caras, ou melhor, ter uma ideia de onde eles variam fazendo a projeção da superfície no plano :
Para descrever esse cara, veja que varia de até ...
Enquanto o vai de até aquela reta obliqua:
Essa reta é o encontro do plano com o plano ...
Então...
Passo 5
Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo , o que devemos fazer agora é encontrar o termo e que pode ser encontrado, fazendo:
Onde é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)
No caso, como a parametrização é feita utilizando as parametrizações explicitas podemos evitar esse cálculo chato e seguir o macete aqui oh:
Calculando essas derivadas parciais...
Então o termo fica sendo...
Passo 6
Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função , pelos termos da parametrização, dessa forma aqui oh:
Como só o que muda e esse campo não tem , então ele não muda nada também, uai!
Passo 7
Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:
E trocar todos os três caras que descobrimos, onde é substituído pela variação dos parâmetros, desse jeito aqui oh:
Bora calcular a integral?
Passo 8
Substituindo...