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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

23) Calcule

∬ S   F → ⋅ n →   d S

l) F → x ,   y ,   z = x ,   - 3 y ,   - 2 z e S é a união dos planos y + z = 0 , com 0 ≤ x ≤ 1 , - 1 ≤ y ≤ 0 e z = 0 , com 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , indicando a orientação escolhida para S .

Passo 1

Vamos começar este problema vendo o que vamos fazer para chegar a solução do problema, ok? Inclusive isso é sempre sugerido: sempre coloque em primeiro o lugar o que você terá que fazer para chegar no resultado do problema. Fica a dica 😉!

∬ S   F → ⋅ n →   d S

No caso da integral de superfície, existem três coisinhas básicas:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S

3º - Trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização.

Assim que você parametrizar, encontrar e trocar é só meter bronca na integral. Bora? 😊

Passo 2

A primeira coisa como vimos é parametrizar a superfície do problema. Mas antes: quem é a superfície S dada? Ora, se a gente desenhar conforme o enunciado nos pede:

“A união da superfície do plano y + z = 0 com o - 1 ≤ y ≤ 0 e 0 ≤ x ≤ 1 ”

“Com a superfície de z = 0 , onde 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 1 ”

Chegamos a superfície S que queremos parametrizar!

Passo 3

Pow, veja que estamos trabalhando com dois pedaços de planos, logo vamos parametrizar separado, ok?

  1. Parametrizando primeiro o plano inclinado...

    2. y + z = 0         →

    z = - y

    Podemos parametrizar esse plano como uma parametrização explícita, ou seja...

    σ 1 x ,   y = x ,   y ,   - y

    Onde os parâmetros são as variáveis x e y e elas variam no intervalo dado para esse plano:

    0 ≤ x ≤ 1

    - 1 ≤ y ≤ 0

  2. Quanto ao outro pedaço de plano...

z = 0

Podemos parametrizar como sendo...

σ 2 x ,   y = x ,   y ,   0

Dessa vez, os parâmetros x e y variam para esse plano...

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

Passo 4

Ok, agora de acordo com o nosso roteiro láaaa do passo 1 , o que devemos fazer agora é encontrar o termo n → d S e que pode ser encontrado, fazendo:

n → d S = N →   d x d y

Onde N → é o vetor normal da superfície que a gente encontra assim oh (tendo a parametrização em mãos já heim 😉)

N → = ∂ σ ∂ x × ∂ σ ∂ y

Bem, temos dois planos, então teremos dois vetores normais:

  1. Ao plano inclinado de parametrização

    2. σ 1 x ,   y = x ,   y ,   - y

    como a parametrização é feita utilizando as parametrizações explicitas podemos evitar esse cálculo chato e seguir o macete aqui oh:

    z = - y

    N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1

    Calculando essas derivadas parciais...

    N → = 0 ,   1   ,   1  

    Esse é o vetor apontando pra cima, pois = 1 . Então o termo n → d S para esse plano fica sendo...

    n → d S = 0 ,   1 ,   1   d x d y

  2. Ao outro plano... σ 2 x ,   y = x ,   y ,   0 , z = 0 ...

N → = 0 ,   0   ,   1

Com N → também pra cima. Aqui...

n → d S = 0 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 5

Ótimo, agora vamos simplesmente trocar os termos da função F → pelos termos da parametrização. Como temos duas parametrizações... Já sabe neh? Vamos ter uma substituição para cada um dos planos:

F → x ,   y ,   z = x ,   - 3 y ,   - 2 z

  1. Para o plano inclinado ( z = - y ):

    2. F → σ 1 x ,   y = x ,   - 3 y ,   2 y

  2. Já no segundo plano:

F → σ 2 x ,   y = x ,   - 3 y ,   0

Passo 6

Prontinho 😊! Agora basicamente temos que voltar para a integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ n →   d S

E trocar todos os três caras que descobrimos. Como temos duas superfícies, uma inclinada S 1 e a outra S 2 ...

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∬ S 1   F → ⋅ n →   d S + ∬ S 2   F → ⋅ n →   d S

Para o plano inclinado:

  1. Trocamos o S 1 por...

    2. 0 ≤ x ≤ 1

    - 1 ≤ y ≤ 0

    O n → d S = 0 ,   1 ,   1   d x d y e F → σ 1 x ,   y = x ,   - 3 y ,   2 y :

    ∬ S 1   F → ⋅ n →   d S = ∫ - 1 0 ∫ 0 1 x ,   - 3 y ,   2 y ⋅ 0 ,   1 ,   1   d x d y

    ∫ - 1 0 ∫ 0 1 - y   d x d y = ∫ - 1 0 - y   1 - 0 d y =

    ∫ - 1 0 - y d y = - y 2 2 - 1 0 =

    1 2

    Para o plano deitado S 2 :

  2. Trocamos o S 2 por...

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

O n → d S = 0 ,   0 ,   1   d x d y e F → σ 2 x ,   y = x ,   - 3 y ,   0 :

∬ S 2   F → ⋅ n →   d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x ,   - 3 y ,   0 ⋅ 0 ,   0 ,   1   d x d y

0

Logo...

∬ S   F → ⋅ n →   d S = ∬ S 1   F → ⋅ n →   d S + ∬ S 2   F → ⋅ n →   d S     →

∬ S   F → ⋅ n →   d S = 1 2 + 0

Resposta

1 2

Com n → apontado para cima.

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