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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Calcule o fluxo de F → x , y , z = y 2 + z 2 , x , x , através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto 4,1 , 0 a 2,4 , 0 em torno do eixo x , onde o vetor n → tem componente i → não negativa.

Passo 1

O fluxo é a integral de superfície de F por essa superfície, vamos começar fazendo a parametrização desse segmento de reta que liga esses pontos, o vetor direção desse segmento de reta vai ser

2,4 , 0 - 4,1 , 0 = 2 - 4,4 - 1,0 = - 2,3 , 0

O segmento vai ser

r t = 4,1 , 0 + t - 2,3 , 0 = 4 - 2 t , 1 + 3 t , 0

O valor de t vai de 0 à 1 para que assim ele vá de 4,1 , 0 à 2,4 , 0

Vamos ter

x t = 4 - 2 t

y t = 1 + 3 t

Rotacionando em torno do eixo x , a parametrização dessa superfície vai ser

φ t , θ = x t , y t cos ⁡ θ , y t sen ⁡ θ

φ t , θ = 4 - 2 t , 3 t + 1 cos ⁡ θ , 3 t + 1 sen ⁡ θ

Passo 2

A Integral vai ser

ϕ = ∬ S F → ∙ n → d S

Temos que achar o nosso vetor normal

N t , θ = i j k ∂ φ x ∂ t ∂ φ y ∂ t ∂ φ z ∂ t ∂ φ x ∂ θ ∂ φ y ∂ θ ∂ φ z ∂ θ

N t , θ = i j k - 2 3 cos ⁡ θ 3 sen ⁡ θ 0 - 3 t + 1 sen ⁡ θ 3 t + 1 cos ⁡ θ

N t , θ = 3 3 t + 1 cos 2 ⁡ θ i + 0 j + 2 3 t + 1 sen ⁡ θ k - 0 k - - 2 3 t + 1 cos ⁡ θ j - - 3 3 t + 1 sen 2 ⁡ θ i

N t , θ = 3 3 t + 1 cos 2 ⁡ θ + 3 3 t + 1 sen 2 ⁡ θ i + 2 3 t + 1 cos ⁡ θ j + 2 3 t + 1 sen ⁡ θ k

N t , θ = 3 3 t + 1 i + 2 3 t + 1 cos ⁡ θ j + 2 3 t + 1 sen ⁡ θ k

Passo 3

Para calcular a integral, precisamos substituir a parametrização da superfície no fluxo F → e, em seguida, fazer o produto escalar entre ele e a normal

Primeiramente o fluxo fica assim:

F → = 3 t + 1 cos ⁡ θ 2 + 3 t + 1 sen ⁡ θ 2 , 4 - 2 t , 4 - 2 t

= 3 t + 1 2 cos 2 ⁡ θ + 3 t + 1 2 sen 2 ⁡ θ , 4 - 2 t , 4 - 2 t

Colocando 3 t + 1 2 em evidência e considerando cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1 , ficamos com

F → = 3 t + 1 2 , 4 - 2 t , 4 - 2 t

Fazendo o produto escalar vamos ter

F → ∙ n → = 3 t + 1 2 , 4 - 2 t , 4 - 2 t ∙ 3 3 t + 1 , 2 3 t + 1 cos ⁡ θ , 2 3 t + 1 sen ⁡ θ

F → ∙ n → = 3 3 t + 1 3 + 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos ⁡ θ + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen ⁡ θ

A integral vai ficar

ϕ = ∬ S F → ∙ n → d S

ϕ = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π 3 3 t + 1 3 + 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos ⁡ θ + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen ⁡ θ d θ d t

⇒ ∫ 0 1 3 3 t + 1 3 θ + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen ⁡ θ - 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos ⁡ θ θ = 0 2 π d t

⇒ ∫ 0 1 3 3 t + 1 3 2 π - 0 + 2 4 - 2 t 3 t + 1 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ 0 - 2 4 - 2 t 3 t + 1 cos ⁡ 2 π - cos ⁡ 0 d t

Os termos com seno e cosseno vão desaparecer aqui! Todos eles vão dar zero, com isso só sobra o seguinte:

⇒ ∫ 0 1 6 π 3 t + 1 3 d t

⇒ ∫ 0 1 6 π 27 t 3 + 27 t 2 + 9 t + 1 d t

⇒ 6 π 27 t 4 4 + 27 t 3 3 + 9 t 2 2 + t t = 0 1

⇒ 6 π 27 ∙ 1 4 4 + 27 ∙ 1 3 3 + 9 ∙ 1 2 2 + 1 - 27 ∙ 0 4 4 + 27 ∙ 0 3 3 + 9 ∙ 0 2 2 + 0

⇒ 6 π 27 4 + 27 3 + 9 2 + 1 - 0

⇒ 6 π 85 4

⇒ 255 π 2

Resposta

255 π 2

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