4) Calcule a área das superfícies:
f) superfície gerada pela rotação do segmento de reta , , em torno do eixo .
Passo 1
Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:
Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo .
Passo 2
Precisamos da superfície parametrizada, as antes, quem é mais vantajoso nos perguntarmos quem é a superfície ?
No nosso caso, o que devemos fazer é pegar esses dois pontos unidos por um segmento...
E girá-lo ao redor de ...
Formando ao pedaço de cone!
Passo 3
Uma superfície como essa, foi gerada com uma revolução, logo a parametrização que devemos utilizar é a parametrização que chamamos de parametrização de superfícies de revolução. Bem sugestivo, neh? kkkkkk
Para essa superfície, como você já sabe, primeiro parametrizamos a curva que deu origem, no caso, a reta. Parametrização de reta, sempre tem essa cara:
Onde é um ponto qualquer da reta, por exemplo, o ponto . do enunciado..
E o vetor é o vetor de direção dessa reta, dado pelo ponto inicial menos o final:
Então a parametrização da reta é:
Logo a parametrização da curva é no plano ...
Repare que ficaram uns vácuos ali! Isso porque a uma curva precisa de uma única variável e a superfície de duas, bora encontrar a segunda?
Passo 4
Bem, o segundo parâmetro é o ângulo que chamamos de fator de giro. Como no caso estamos girando ao redor de , ou seja, no plano ...
Devemos colocar uma correção com um cosseno e um seno em e . O cosseno, se quisermos o ângulo saindo do eixo no sentido anti-horário como no desenho acima, deve ser necessariamente o e o o seno:
Então a parametrização fica...
Como tem um termo na frente do seno, tem que ter na frente do cosseno também:
Eis a parametrização!
Passo 5
Ok, agora nos falta a segunda parte do problema que é encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.
Como pode ver na projeção da superfície no plano
Precisamos de um dando uma volta completa:
Passo 6
Enquanto isso, o é dado por...
E movemos do ponto ao ...
Então, quando é ...
E quando ...
Então o varia de...
Passo 7
Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo ...
Onde esse vetor normal é dado por...
Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...
Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores , e ...
Então
Bem, ainda não concluímos o termo , pois ele nos exige o módulo de , então devemos extrair a raiz quadrada...
Passo 8
Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...
E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que , trocamos por que é a região de variação de e ).
Lembrando que é...
Gerando a integral