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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

Suponha que f x , y , z = x 2 + y 2   .   g x 2 + y 2 + z 2 , onde g é a função de uma variável, tal que g 2 = - 5 . Calcule ∬ S f x , y , z d S , onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é parametrizar essa esfera, para isso vamos usar a parametrização esférica

φ t , θ = 2 sen ⁡ t cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ t sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ t

Com

θ ∈ 0,2 π

t ∈ 0 , π

Passo 2

Vamos agora ao vetor normal

N t , θ = i j k ∂ φ x ∂ t ∂ φ y ∂ t ∂ φ z ∂ t ∂ φ x ∂ θ ∂ φ y ∂ θ ∂ φ z ∂ θ

N t , θ = i j k 2 cos ⁡ t cos ⁡ θ 2 cos ⁡ t sen ⁡ θ - 2 sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t sen ⁡ θ 2 sen ⁡ t cos ⁡ θ 0

N t , θ = 0 i + 4 sen 2 ⁡ t sen ⁡ θ j + 4 cos ⁡ t sen ⁡ t cos 2 ⁡ θ k - - 4 cos ⁡ t sen ⁡ t sen 2 ⁡ θ k - 0 j - - 4 sen 2 ⁡ t cos ⁡ θ i

N t , θ = 4 sen 2 ⁡ t cos ⁡ θ i + 4 sen 2 ⁡ t sen ⁡ θ j + 4 cos ⁡ t sen ⁡ t cos 2 ⁡ θ + 4 cos ⁡ t sen ⁡ t sen 2 ⁡ θ k

N t , θ = 4 sen 2 ⁡ t cos ⁡ θ i + 4 sen 2 ⁡ t sen ⁡ θ j + 4 cos ⁡ t sen ⁡ t cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ k

N t , θ = 4 sen 2 ⁡ t cos ⁡ θ i + 4 sen 2 ⁡ t sen ⁡ θ j + 4 cos ⁡ t sen ⁡ t k

N t , θ = 4 sen 2 ⁡ t cos ⁡ θ 2 + 4 sen 2 ⁡ t sen ⁡ θ 2 + 4 cos ⁡ t sen ⁡ t 2

N t , θ = 16 sen 4 ⁡ t cos 2 ⁡ θ + 1 6 sen 4 ⁡ t sen 2 ⁡ θ + 16 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t

N t , θ = 16 sen 4 ⁡ t cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + 16 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t

N t , θ = 16 sen 4 ⁡ t + 16 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t

N t , θ = 16 sen 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

N t , θ = 16 sen 2 ⁡ t

N t , θ = 4 sen ⁡ t

Passo 3

A integral vai ficar

∬ S f x , y , z d S = ∬ S f φ t , θ N t , θ d t d θ

Só que quem é f φ t , θ aqui? O problema nos deu essa função em relação a x , y , z , vamos precisar substituir os parâmetros da esfera nela, fica assim:

f x , y , z = x 2 + y 2   .   g x 2 + y 2 + z 2

Vamos fazer isso com calma! Primeiro ( x 2 + y 2 ) e depois essa função g ai. O primeiro termo é esse aqui:

x 2 + y 2 = 2 sen ⁡ t cos ⁡ θ 2 + 2 sen ⁡ t sen ⁡ θ 2 =

= 4 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ θ + 4 sen 2 ⁡ t sen 2 ⁡ θ = 4 sen 2 ⁡ t

O segundo vai ficar assim

g x 2 + y 2 + z 2 = g 2 sen ⁡ t cos ⁡ θ 2 + 2 sen ⁡ t sen ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ t 2 =

A única informação sobre a função g foi que g 2 = 5 , portanto

= g 4 = - 5

Juntando os dois termos

f φ t , θ = - 20 sen 2 ⁡ t

Substituindo tudo na integral, é só multiplicar essa função pelo módulo do vetor normal, fica assim

∫ 0 2 π ∫ 0 π ( - 20 sen 2 ⁡ t ) ( 4 sen ⁡ t ) d t d θ

⇒ - 80 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sen 3 ⁡ t d t d θ

Passo 4

Vamos resolver essa integral

∫ sen 3 ⁡ t d t = ∫ sen 2 ⁡ t sen ⁡ t d t = ∫ 1 - cos 2 ⁡ t sen ⁡ t d t

Fazendo a substituição

cos ⁡ t = u

Vamos ter

d u = - sen ⁡ t d t

sen ⁡ t d t = - d u

∫ 1 - cos 2 ⁡ t sen ⁡ t d t = - ∫ 1 - u 2 d u

= u 3 3 - u

Voltando para t

cos 3 ⁡ t 3 - cos ⁡ t

Passo 5

Voltando para a integral dupla

- 80 ∫ 0 2 π ∫ 0 π sen 3 ⁡ t d t d θ = - 80 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ t 3 - cos ⁡ t t = 0 t = π d θ

⇒ - 80 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ π 3 - cos ⁡ π - cos 3 ⁡ 0 3 - cos ⁡ 0 d θ

⇒ - 80 ∫ 0 2 π - 1 3 3 - - 1 - 1 3 3 - 1 d θ

⇒ - 80 ∫ 0 2 π - 1 3 + 1 - 1 3 - 1 d θ

⇒ - 80 ∫ 0 2 π 2 3 - - 2 3 d θ

⇒ - 80 ∫ 0 2 π 4 3 d θ

⇒ - 80 4 3 θ θ = 0 2 π

⇒ - 80 4 3 2 π - 0

⇒ - 80 4 3 2 π

⇒ - 640 π 3

Resposta

- 640 π 3

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