4) Calcule a área das superfícies:
c) porção do cilindro , entre os planos e .
Passo 1
Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:
Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo .
Passo 2
Precisamos da superfície parametrizada, as antes, quem é mais vantajoso nos perguntarmos quem é a superfície ?
Bem, como o próprio problema nos indicou, é um pedaço do cilindro entre esses dois planos:
Note que existem dois pedaços de cilindro entre os planos, um de um lado e o outro do outro. Como existe uma simetria em relação ao plano , podemos calcular a área do pedaço de cima, que chamaremos de ,e depois multiplicar por dois...
Passo 3
Bem, estamos trabalhando com um pedaço de cilindro, então nada mais justo que utilizar uma parametrização “prima” das coordenadas cilíndricas:
Agora tome muito cuidado! Uma superfície, mesmo no espaço, tem duas dimensões, certo? Então ela precisa sempre de dois parâmetros para descrevê-la. No nosso caso, é só o ângulo e o próprio , esse desaparece virando o raio do cilindro que estamos trabalhando...
Logo a parametrização é...
Ou, com uma anotação um pouco mais elegante do ponto de vista da matemática...
Passo 4
Ok, porém nunca deixamos uma parametrização sem antes encontrar o domínio dos parâmetros: onde eles estão variando.
Bem, como a parametrização é prima das coordenadas cilíndricas, o ângulo gira no plano ao redor do eixo , como pode ver na projeção da superfície no plano :
Precisamos de um dando uma meia volta:
Passo 5
Enquanto isso, o varia entre os dois planos:
Como o plano verde é e o azul é ...
Trocando o pelo parâmetro...
Passo 6
Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo ...
Onde esse vetor normal é dado por...
Não precisa se preocupar com a ordem dessas derivadas parciais, pois o módulo no corrige qualquer sinal de menos ( ). Por falar nisso, calculando essas derivadas parciais...
Substituindo tudo dentro do produto vetorial (um determinante lembrando em que a primeira linha estão os vetores , e ...
Então
Bem, ainda não concluímos o termo , pois ele nos exige o módulo de , então devemos extrair a raiz quadrada...
Passo 7
Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...
E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que , trocamos por que é a região de variação de e ).
Resolvendo a integral de dentro...