4) Calcule a área das superfícies:
g) parte da superfície , compreendida entre os planos , , e .
Passo 1
Então, área de superfície para nós a parir deste momento será dado por uma integral de superfície escalar bem especial. Essa daqui, oh:
Como toda e boa integral de superfície escalar vamos seguir um passo a passo maroto que nos ajudará muito:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo .
Passo 2
Precisamos da superfície parametrizada, as antes, quem é mais vantajoso nos perguntarmos quem é a superfície ?
No nosso caso, estamos lidando um pedaço do cone:
Mas queremos apenas a parte que está entre os planos , em verde, e , em azul:
Não se preocupe na hora de fazer um esboço, afinal isso é apenas para nos dar uma noção de quem que estamos trabalhando. O que queremos mesmo é parametrizar isso daí, então bora?
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma superfície em cima de um cone de equação explícita
Podemos pensar em uma parametrização explícita, tal que os dois parâmetros sejam o próprio e ...
Passo 4
Como toda e qualquer parametrização, necessitamos de determinar onde é que os parâmetros e estão variando.
Bem, e varia na limitação imposta pelo problema, entre os planos verde e azul e no primeiro quadrante: como se olhássemos de cima para baixo...
Por hora, podemos simplesmente indicar que e estão dentro dessa região aí, apenas para não perder o foco na integral de superfície ;)
Passo 5
Beleza, então com essa primeira etapa já resolvida podemos sair em busca do termo ...
Onde esse vetor normal é dado por...
Mas como parametrizamos como em função explícita de e , ou melhor, como um gráfico de função, podemos usar o bizu de vetor normal nessas condições e ganhar tempo...
como
Então...
Calculando o módulo...
Passo 6
Voltando para integral de linha que estamos resolvendo...
E substituindo esses termos que determinamos (lembrando que , trocamos por que é a região de variação de e ).
Epa! Integral dupla de é a área da região , como é essa faixa:
Repare que podemos calcular a área do triângulo maior e subtrair pela área do triângulo menor:
Como o triângulo maior tem altura e base ...
O triângulo menor...
Então a área da faixa que queremos é...
então...