2.8) Considere um cilindro oco de raio interno a , raio externo b e comprimento L . O cilindro,

feito de material isolante, possui uma densidade de carga ρ uniformemente distribuída em

seu corpo. Calcule o momento de dipolo magnético gerado pela rotação desse cilindro em torno do seu eixo longitudinal. Considere que o cilindro gira com frequência angular ω .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos obter o momento de dipolo magnético que é gerado a partir da rotação de uma casca cilíndrica isolante.

E aí, como obtemos esse momento? 🤔

O momento dipolar magnético m é uma grandeza que quantifica a orientação e intensidade do campo magnético gerado por um objeto magnético. O momento dipolar é dado pelo produto entre a corrente elétrica I e a área A do circuito que gera o campo magnético.

m = I A

Esse momento aponta para o vetor normal à área.

Sacou? 😊

Passo 2

O fato da casca cilíndrica ser isolante, quer dizer que não há movimento de cargas em seu interior, ou seja, a rotação ω é o que gera o movimento de elétrons e gera a corrente I da equação m .

Primeiro vamos definir a corrente I do problema.

Se a casca cilíndrica gira a ω e v = ω r , então podemos relacionar v e i como

I = q v

Onde q é uma carga e v a velocidade dessa carga, portanto

I = q ω r

Agora vamos obter a área A da seção transversal da casca cilíndrica.

Nesse caso é fácil pois essa seção será uma circunferência.

A = π r 2

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Substituindo I e A em m , temos

m = q ω r π r 2

m = π q ω r 3

E como nossa casca possui altura L , temos que multiplicar m por L resultando em

m = π ω L q r 3

Por fim, temos que fazer uma adaptação nessa equação.

Foi dito que a casca cilíndrica tem raio interno e raio externo, portando isso que encontramos é para o caso de uma casca cilíndrica fina, o que não é o caso.

Portanto, isso que encontramos é na verdade um momento de uma casca cilíndrica infinitesimal, então para satisfazer o problema, vamos integrar nos dois lados entre a e b e substituir q por ρ .

∫ d m = ∫ a b π ω L ρ r 3 d r

m = π ω L ρ r 4 4 a b

m = π ω L ρ b 4 - a 4 4

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

m = π ω L ρ b 4 - a 4 4

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