UFRJ- Física 3 - PF 2017.2 - DIURNO - 14
Um solenóide toroidal tem seção transversal quadrada, raio interno , raio externo e voltas de um fio condutor fino enroladas de forma compacta em torno dele. Qual é a auto indutância deste solenóide?
Passo 1
Vamos tentar entender a situação do problema olhando para a figura abaixo. Representamos apenas uma seção transversal de um toróide, neste caso apenas metade do toróide e apenas algumas das espiras quadradas. Cada uma das espiras quadradas transporta uma corrente e as colocamos no sentido horário indicado na figura.
Por isso, pela regra da mão direita, o campo magnético que essas correntes geram está entrando no plano da página. Para facilitar nossa discussão, colocamos também a área sempre paralela ao campo magnético , como ilustrado na figura. Colocamos também uma área infinitesimal pela qual o campo passará.
A corrente em cada uma das espiras atravessará uma área definida pelo contorno fechado , que está a uma distância do eixo . CUIDADO: agora estamos falando da área delimitada pelo contorno e não de !! Repara que na figura mostramos apenas a metade dessa curva fechada para facilitar o entendimento da questão, mas imagina essa curva como um círculo de raio .
Passo 2
Bom, agora que já visualizamos a questão através da figura (assim espero...rsrs), vamos entender o que precisamos calcular neste caso.
Primeiro, para obter a autoindutância , vamos começar nossa solução pela expressão do fluxo magnético e sua relação com a autoindutância de acordo com
sendo que é corrente que percorre cada uma das espiras quadradas do solenóide toroidal.
O caminho que a gente vai seguir abaixo é o seguinte: calculamos o fluxo total do toróide e o igualamos a para tirar a expressão para .
Para calcular o fluxo, precisamos do campo magnético produzido pela corrente nas espiras. Então, vamos aplicar a lei de Ampère ao contorno fechado .
Utilizando a figura acima, vemos que o campo está entrando no plano da página, é sempre paralelo ao elemento da curva e tem o mesmo valor para todos os pontos de , por isso podemos escrever o seguinte
onde é a corrente total que atravessa a área delimitada pela curva fechada . Então, obtemos o seguinte módulo para o campo magnético
Tendo o valor do campo gerado pela corrente que passa nas espiras, podemos encontrar o fluxo magnético. Como o elemento de área é sempre paralelo a e este tem mesmo valor em todos os pontos da curva neste caso, temos que
Dá uma olhada lá na figura e veja que, neste sistema de coordenadas, o elemento infinitesimal de área atravessada pelo campo é . Por isso, o fluxo total é
Resolvendo a integral acima, obtemos que o fluxo magnético total através das espiras é
que nos permite encontrar a expressão para a autoindutância.
Resposta
Portanto, a resposta correta é a letra a) .