Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

17. Uma polia homogênea, que possui o formato de um disco com raio R   =   0,3   m e massa M = 7,2   k g , está fixa em um suporte podendo girar livremente, sem atrito, em volta de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano x y . Uma corda leve (de massa desprezível), que está enrolada nessa polia, prende um bloco de massa m   =   1,1   k g , como mostra a figura. À medida que a polia gira, o bloco se movimenta para baixo, sem que a corda escorregue sobre a polia. O sistema é solto do repouso, quando m está a uma altura h   =   2   m acima do chão horizontal. O módulo do vetor velocidade com que o bloco de massa m chega ao chão, em metros por segundo, é aproximadamente:

Passo 1

E aí meus caros! Aqui vamos nós pra décima sétima questão dessa P 2 de Física!

E assim como no item anterior, temos aqui uma questão de polia com massa suspendendo um bloco. Uma questão de rotação, pra ser mais direto.

E em questões de rotação, como já falamos antes, o negócio é o seguinte. Quase sempre se resolve por análise de forças ou energia ou até mesmo os dois juntos.

Depende muito do que o enunciado fala pra gente. É o enunciado que nos dá as pistas de como vamos resolver o problema!

Pois muito bem! O que a questão tá pedindo pra gente é pra determinar a velocidade do bloco de massa m , quando ele é solto do repouso de uma altura h . Sei não, hein!? Se a questão deu uma altura pra gente isso tá cheirando à conservação de energia mecânica! Ainda mais, porque não tem atrito agindo em nosso sistema!

Sendo assim não há mais o que discutir! Como é de costume! A primeira coisa que temos de fazer é o diagrama de corpo livre do nosso sisteminha...

Passo 2

Bem! Como já discutido antes, vamos obter a solução utilizando a conservação da energia mecânica do sistema uma vez que os movimentos do cilindro e do bloco ocorrem na ausência de forças de atrito.

Se liga! Toda a energia potencial do bloco será transformada em energia cinética de rotação do disco mais a energia cinética de translação do bloco, que terá energia potencial nula ao chegar em h   =   0 . Assim, com base nisso, podemos escrever a seguinte equação:

m g h = 1 2 I ω 2 + 1 2 m v 2

Onde ω é a velocidade angular do cilindro, v é a velocidade de translação do bloco no instante em que ele chega no plano ( h   =   0 ) e I é o momento de inércia do disco.

Sabendo que a velocidade de translação do bloco é igual a velocidade linear do disco, que no caso é dada por:

v = ω R

Substituindo essa relação na equação anterior:

m g h = 1 2 I ω 2 + 1 2 m v 2

m g h = 1 2 I ω 2 + 1 2 m v 2

m g h = 1 2 I v R 2 + 1 2 m v 2

E sabendo também que:

I = 1 2 M R 2

Então;

m g h = 1 2 I v R 2 + 1 2 m v 2

m g h = 1 2 1 2 M R 2 v 2 R 2   + 1 2 m v 2

m g h = 1 4 M v 2 + 1 2 m v 2

4 m g h = M v 2 + 2 m v 2

v 2 M + 2 m = 4 m g h

v = 2 m g h M + 2 m

Passo 3

Agora, é só substituir os valores numéricos conhecidos de cada variável:

v = 2 m g h M + 2 m

v = 2 ( 1,1   k g ) ( 10,0   m / s 2 ) ( 2,0   m ) 7,2   k g + 2 ⋅ 1,1   k g

v = 3,06   m / s

E pronto! Encontramos a velocidade do bloco após ser solto de uma altura de 2,0   m .

Hasta lá vista!

Bora pra frente! Faltam só mais três questões!

Resposta

v = 3,06   m / s

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