Um elevador pode ser representado esquematicamente como um bloco de massa para indicar a cabine (caixa de metal + carga), um bloco de massa representa um contra-peso para a cabine e uma polia de raio cujo momento de inércia é . Um motor está acoplado a polia e pode realizar um torque para tracionar os cabos (considerados ideais). O módulo da tração sobre a massa é , enquanto é a tração sobre . Considere que os cabos não deslizam sobre a polia e utilize .

(a) Represente diagramaticamente todas as forças que atuam sobre as massas e e os torques sobre a polia.

(b) Escreva a segunda lei de Newton as massas , e a polia em termos da aceleração a da massa .

(c) Considere que a polia move-se com velocidade angular constante, de módulo . Qual é o módulo da potência que deve ser aplicada ao motor?

Na letra (b), queremos a segunda lei de Newton para cada corpo.

Devemos prestar atenção no sentido da aceleração (cima ou baixo).

Além disso, como o cabo é inextensível, o movimento do contra-peso e do elevador acontecem exatamente com um mesmo deslocamento, velocidade e aceleração. Por isso:

Para o elevador,

como ele está subindo, sua aceleração é para cima:

Para o contra-peso,

Como ele está descendo, sua aceleração é para baixo. Vamos considerar esse sentido positivo:

Já na roldana, não há translação, existe apenas rotação.

Logo, vamos aplicar a segunda Lei de Newton para rotação:

Como está aplicada no centro de rotação, seu torque é nulo.

Tanto a força quanto a força estão perpendiculares aos vetores posição :

Então os módulos dos torques são:

Mas não podemos nos esquecer do sinal dos torques.

Se a roldana gira no sentido horário, o sentido positivo de sua aceleração angular será no sentido horário, então:

Lembrando que os módulos da força de tração são iguais em cada lado da corda:

Mas antes de respondermos, existe mais um detalhe...

A expressão deve estar em função da aceleração .

Como não há delizamento, a aceleração de um ponto da borda da polia será a mesma aceleração da corda e consequentemente dos blocos .

Podemos relacioná-las com:

Substituindo na expressão da Segunda Lei de Newton para a roldana, temos:

Respondemos a letra (b).

Na letra (c), queremos a potência do motor se a velocidade angular da polia for .

Beleza, mas como que achamos a potência do motor??

Vamos calcular usando a expressão:

Ué... mas de onde vem isso?

Bom, existem umas manipulações a partir da equação de potência que chegam a isso.

Lembrando que é com a prática que você começaria a enxergar isso. Pra quem nunca viu dessa forma, realmente é mais difícil advinhar essas manipulações.

Vamos lá!

Sabemos que o trabalho é o produto entre uma força e um deslocamento :

Agora, vamos usar uma malandragem de multiplicar em cima e em baixo pelo raio :

O primeiro produto é igual a torque e o segundo é igual a :

Já temos o nosso , basta achar o .

Bom, se a velocidade é constante, não há aceleração no sistema.

Ou seja, tanto a roldana, quanto o elevador, quanto o contra-peso se movem sem aceleração.

Então, nossas equações ficam assim.

Elevador:

Contra-peso:

Roldana:

Juntando tudo:

Substituindo a primeira e segunda equações na terceira, temos:

Substituindo os valores, temos:

Agora, podemos calcular a potência para uma velocidade angular de .