Dois cilindros de raios diferentes são unidos conforme a figura, sendo o raio do cilindro menor r e do cilindro maior 2 r . Fios ideais, que não escorregam, são enrolados em cada um dos cilindros e na outra extremidade de cada um dos fio é pendurada uma massa m . Este sistema é colocado para girar ao redor de um eixo de rotação horizontal, sem atrito. O momento de inércia deste sistema torno do eixo vale I = 5 m r 2 . O sistema inicialmente se encontra em repouso. Após deixarmos os pesos cair, determine a aceleração angular deste sistema utilizando as leis de Newton em termos de g , a aceleração da gravidade, e de r . NÃO substitua g por valores numéricos.

Passo 1

Para achar a aceleração angular α do eixo, devemos aplicar a Segunda Lei de Newton para rotações:

τ R = I α

Passo 2

Vamos olhar para a vista de perfil.

Cada bloquinho está tentando girar o eixo para um lado diferente, concorda?

Eles estão gerando uma força de tração no fio igual aos seus pesos m g .

Quanto mais afastado do eixo de rotação, maior o torque. Então o eixo vai girar no sentido horário.

Mas fique tranquilo quanto ao sinal, nós queremos apenas o módulo da aceleração angular α . Porém é importante colocar sinais trocados para os dois torques, já que cada um tenta girar o eixo num sentido diferente.

Passo 3

O raio do cilindro maior é 2 r :

Então o torque da força mais à direita é:

τ = m g 2 r → s e n t i d o   h o r á r i o

Enquanto o raio do cilindro menor é r .

Então o torque da força mais à esquerda é:

τ = m g r → s e n t i d o   a n t i h o r á r i o

Considerando o sentido horário positivo, temos:

τ R = I α

m g 2 r - m g r = I α

Passo 4

Substituindo o momento de inércia dado no enunciado, temos:

2 m g r - m g r = 5 m r 2 α

m g r = 5 m r 2 α

α = m g r 5 m r 2

Assim, achamos que:

α = g 5 r

Resposta

α = g 5 r

Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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