Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Uma corda ideal está enrolada na periferia de uma casca esférica (massa M C = 200   g e raio R C = 30,0   c m ) que gira em torno de um eixo vertical. A corda conecta a casca a uma roldana ( M R = 100   g e R R = 20,0   c m ) e finalmente a um bloco pendurado de massa m . A corda não desliza sobre a casca nem sobre a roldana e a casca e a roldana giram sem atrito em torno de seus eixos. Considere g = 10   m / s 2 , I c a s c a = 2 3 M C R C 2 e I r o l d a n a = 1 2 M R R R 2 .

Com o sistema partindo do repouso, o bloco desce com aceleração a = 0,600   m / s 2 e a roldana sofre deslocamento angular Δ θ = 7,50   r a d até que o bloco esteja na iminência de tocar o solo.

a) Calcule o tempo t de queda do bloco e a velocidade angular final ω F da casca.

b) Para o bloco, represente num diagrama de forças as forças relevantes para seu movimento de translação e escreva a Segunda Lei de Newton associada.

c) Para a casca, represente num diagrama de forças as forças relevantes para seu movimento de translação e escreva a Segunda Lei de Newton associada.

d) Para a roldana, represente num diagrama de forças as forças relevantes para seu movimento de translação e escreva a Segunda Lei de Newton associada.

e) Determine o valor da massa m do bloco.

Passo 1

Fala galerinha, bora resolver mais uma questão?

Sabemos qual é aceleração a = 0,6   m / s 2 do bloco e, consequentemente, do fio. Para achar a aceleração angular da roldana e da casca, usamos

a = α C R c               e             a = α R R R

Assim,

α C = 0,6 0,3 = 2   r a d / s 2

α R = 0,6 0,2 = 3   r a d / s 2

Como a aceleração é constante, podemos usar a expressão:

Δ θ = ω 0 R t + α R t 2 2

Como ω 0 R = 0 , temos que

7,5 = 3 t 2 2 → t = 5   s

Para achar a velocidade angular da casca

ω F = ω C 0 + α C t = 0 + 2 ⋅ 5 → ω F = 2 5   s

Passo 2

No item (b) vamos olhar para o bloco:

Nesse caso, a segunda lei de Newton para translação é escrita como

P - T 1 = m a

Ou ainda,

m g - T 1 = m a

Passo 3

No item (c) temos que fazer o mesmo para a casca:

Assim, a segunda lei de Newton da rotação fica

T 2 R C = I C α C ,                 I C = 2 3 M C R C 2

Passo 4

Por fim, no item (d) olhamos para a roldana:

Assim,

T 1 R R - T 2 R R = I R α R ,             I R = 1 2 M R R R 2

Passo 5

Já sabemos que α C = 2   r a d / s 2 , α R = 3   r a d / s 2 e a = 0,6   m / s 2 . Vamos calcular os momentos de inércia:

I C = 2 3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,3 2 = 0,012   k g   m 2

I R = 1 2 ⋅ 0,1 ⋅ 0,2 2 = 0,002   k g   m 2

Do passo 3, temos que

T 2 = I C α C R C = 0,012 ⋅ 2 0,3 = 0,08 N

Já do passo 4,

T 1 = T 2 + I R α R R R = 0,08 + 0,002 ⋅ 3 0,2 = 0,11   N

Assim, usando o resultado do passo 2:

m g - T 1 = m a

10 m - 0,11 = 0,6 m

9,4 m = 0,11

m = 0,0117   k g

E assim terminamos mais um problema!

Resposta

t = 5   s

ω F = 2 5   s

m g - T 1 = m a

T 2 R C = I C α C ,                 I C = 2 3 M C R C 2

T 1 R R - T 2 R R = I R α R ,             I R = 1 2 M R R R 2

m = 0,0117   k g

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