Tipler – Volume 1 – 6ª Ed. - Capítulo 9 – Seção 1 – Questão 75
(Capítulo 9.1 – Exercício 75) Um carro de está sendo retirado da água por um guincho. No momento em que o carro está acima da água, a caixa de engrenagens quebra e o tambor do guincho gira livremente enquanto o carro cai. Durante a queda do carro, não existe deslizamento entre a corda (sem massa), a polia e o tambor. O momento de inércia do tambor do guincho é e o momento de inércia da polia é . O raio do tambor é e o raio da polia é . Suponha o carro partindo do repouso. Determine a rapidez com que ele atinge a água.
Passo 1
Falaaa, querido! Cê tá bem?
Seguinte, ele diz que o carro está inicialmente parado em uma altura em relação a água. E ele quer saber rapidez do carro quando ele cai na água.
A gente tem essas informações sobre altura e quer a rapidez final do carro, esses dados são dicas para a gente usar conservação de energia mecânica para achar a rapidez do carro.
O nosso sistema é formato pelo carro, pela polia e pelo tambor, então a energia mecânica tanto do momento inicial quanto do momento final vão depender do movimento de todos esses elementos.
Bora ver como fica isso!
Passo 2
Vamos considerar que nosso referencial de altura é a água.
Quando o carro de massa está na altura , ele está parado. Então ele não tem energia cinética, apenas potencial gravitacional .
E nesse momento, o tambor e a polia estão parados também, porque eles só giram quando o carro se move, então a energia cinética de rotação dele é nula.
Logo, a energia do sistema nesse momento é somente a energia do carro, dada por
Como o carro é o único que muda de altura na situação, a gente só olha a energia potencial gravitacional dele, tudo bem?
Passo 3
Já quando o carro chega na água, a altura dele é nula, então não há energia potencial gravitacional.
Mas o carro está em movimento com velocidade , e por isso ele tem energia cinética:
E como o carro se move, a polia e o tambor também começam a girar. E se eles giram, eles têm rapidez angular, e por isso, têm energia cinética de rotação. A fórmula dessa energia é
Se é a massa da polia e a do tambor, e é o momento de inércia da polia e o momento de inércia do tambor, a polia tem essa energia
E o tambor tem
Logo a energia final total é
Passo 4
Então pela conservação de energia:
Como o tambor e a polia rodam sem deslizar e eles rodam por causa da corda que tem a mesma velocidade linear do carro, a gente pode relacionar a rapidez angular da polia e do tambor com a rapidez linear do carro assim:
Então para a polia vamos ter e para o tambor . Substituindo na nossa equação:
Agora é isolar quem a gente quer, a rapidez . Colocando em evidência:
Agora a gente passa dividindo:
Passo 5
Passo 6
Substituindo valores:
E arrasamos!