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Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 13, Questão 11

Determine (se fizer sentido) s e n   t ,   c o s t ,   t g   t ,   c o t g   t ,   s e c   t   e   c o s s e c   t   para os valores de t

  1. t = 0
  2. t = π / 2
  3. t = π
  4. t = 3 π / 2
  5. t = 2 π
  6. t = - π / 2
  7. t = 2 k π   ;   k ∈ Z
  8. t = π / 2 + 2 k π   ;   k ∈ Z

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é calcular os valores de s e n   t ,   c o s t ,   t g   t ,   c o t g   t ,   s e c   t   e   c o s s e c   t   para cada t

Vale lembrar que

c o t g ( t )   =   1 / t g ( t )

s e c ( t ) = 1 / c o s ( t )

c o s s e c ( t ) = 1 / s e n ( t )

Então vamos começar calculando. Partindo da letra a ) temos:

t = 0 , então

s i n ( t ) = 0

c o s s e c ( t )   n ã o   e s t á   d e f i n i d a

c o s ( t ) = 1

s e c ( t ) = 1

t g ( t ) = 1

c o t g ( t )   =   1

na letra b temos t = π / 2 . Então

s i n ( t ) = 1

c o s s e c ( t )   = 1

c o s ( t ) = 0

s e c ( t ) = n ã o   e s t á   d e f i n i d a

t g ( t ) = + ∞

c o t g ( t )   =   0

Agora, vamos para a letra c ) , onde t = π

então

s i n ( t ) = 0

c o s s e c ( t )     n ã o   e s t á   d e f i n i d a

c o s ( t ) = - 1

s e c ( t ) = - 1

t g ( t ) = 0

c o t g ( t )   =   ∞

A letra d ) assume t = 3 π / 2 . Então

s i n ( 3 π / 2 ) = - s i n ( π / 2 )

= - 1

c o s s e c ( t )   = - 1

c o s ( t ) = 0

s e c ( t ) = n ã o   e s t á   d e f i n i d o

t g ( t ) = ∞

c o t g ( t )   =   0

A letra e ) assume t = 2 π . Então

s i n ( t ) = 0

c o s s e c ( t )   = n ã o   e s t á   d e f i n i d o

c o s ( t ) = 1

s e c ( t ) = 1

t g ( t ) = 0

c o t g ( t )   =   ∞  

A letra f ) assume t = - π / 2 . Então

s i n ( t ) = - 1

c o s s e c ( t )   = - 1

c o s ( t ) = 0

s e c ( t ) = n ã o   e s t á   d e f i n i d o

t g ( t ) = ∞

c o t g ( t )   =   0  

Passo 2

Vamos fazer as últimas letras. Começando pela letra g ) t = 2 k π   ;   k ∈ Z .

Essa parece difícil, mas vamos ver que é bem tranquila. Se t = 2 k π , então t é um número inteiro de voltas realizadas ao redor do círculo unitário. Ou seja, para todo   k ∈ Z , temos que a posição do ângulo t é a mesma. Como para k = 0 , t = 0 . temos que

s i n ( 2 k π ) = s i n ( 0 )

= 0

c o s s e c ( t )     n ã o   e s t á   d e f i n i d o

c o s ( t ) = 1

s e c ( t ) = 1

t g ( t ) = 0

c o t g ( t )   =   ∞  

Para finalizar, temos a letra h ) onde t = π / 2 + 2 k π   ;   k ∈ Z .

De forma similar a letra anterior temos 2 k π voltas realizadas na circunferência, mas a diferença é que começamos do ângulo π / 2 . Então, temos que

s i n ( π / 2   + 2 k π ) = s i n ( π / 2   )

= 1

c o s s e c ( t )   = 1

c o s ( t ) = 0

s e c ( t ) = n ã o   e s t á   d e f i n i d o

t g ( t ) = ∞

c o t g ( t )   =   0  

Ufaa!!!

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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