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Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 13, Questão 12

Determine (se fizer sentido) s e n   t ,   c o s t ,   t g   t ,   c o t g   t ,   s e c   t   e   c o s s e c   t   para os valores de t

  1. t = π / 4
  2. t = 3 π / 4
  3. t = 5 π / 4
  4. t = 7 π / 4
  5. t = - 3 π / 4
  6. t = π / 4 + 2 k π   ;   k ∈ Z

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é calcular os valores de s e n   t ,   c o s t ,   t g   t ,   c o t g   t ,   s e c   t   e   c o s s e c   t   para cada t

Vale lembrar que

c o t g ( t )   =   1 / t g ( t )

s e c ( t ) = 1 / c o s ( t )

c o s s e c ( t ) = 1 / s e n ( t )

Então vamos começar calculando. Partindo da letra a ) temos:

t = π / 4 , então

s i n ( t ) = 2 2

c o s s e c ( t )   = 2

c o s ( t ) = 2 2

s e c ( t ) = 2

t g ( t ) = 1

c o t g ( t )   =   1

na letra b temos t = 3 π / 4 . Então

s i n ( 3 π / 4 ) = s i n ( π / 4 )

= 2 2

c o s s e c ( t )   = 2

c o s ( 3 π / 4 ) = - c o s ( π / 4 )

= - 2 2

s e c ( t ) = - 2

t g ( t ) = - 1

c o t g ( t )   =   - 1

Agora, vamos para a letra c ) , onde t = 5 π / 4

então

s i n (   5 π / 4 ) = - s i n ( π / 4 )

= - 2 2

c o s s e c ( t )     = - 2

c o s ( 5 π / 4 ) = - c o s ( π / 4 )

= - 2 2

s e c ( t ) = - 2

t g ( t ) = 1

c o t g ( t )   =   - 1

A letra d ) assume t = 7 π / 4 . Então

s i n (   7 π / 4 ) = - s i n ( π / 4 )

= - 2 2

c o s s e c ( t )     = - 2

c o s ( 7 π / 4 ) = c o s ( π / 4 )

= 2 2

s e c ( t ) = 2

t g ( t ) = - 1

c o t g ( t )   =   - 1

A letra e ) assume t = - 3 π / 4 π . Então

s i n (   - 3 π / 4 ) = - s i n ( π / 4 )

= - 2 2

c o s s e c ( t )     = - 2

c o s ( - 3 π / 4 ) = - c o s ( π / 4 )

= - 2 2

s e c ( t ) = - 2

t g ( t ) = 1

c o t g ( t )   =   - 1

Letra f ) t = π / 4 + 2 k π   ;   k ∈ Z

Essa parece difícil, mas vamos ver que é bem tranquila. Se t = π / 4 + 2 k π   ;   k ∈ Z , então t é um número inteiro de voltas realizadas ao redor do círculo unitário começando do arco π / 4 . Ou seja, para todo   k ∈ Z , temos que a posição do ângulo t é a mesma. Como para k = 0 , t = π / 4 . temos que

s i n ( t = π / 4 + 2 k π   ) = s i n ( π / 4 )

s i n ( t ) = 2 2

c o s s e c ( t )   = 2

c o s ( t ) = 2 2

s e c ( t ) = 2

t g ( t ) = 1

c o t g ( t )   =   1

Ufaa!!!

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .