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Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 17

Reescreva as expressões abaixo usando apenas seno e cosseno e, em seguida, simplifique.

  2. c o s   x   t g   x .
  3. s e n   x   s e c   x .
  4. t g 2   x   −   s e c 2 x .
  5. s e n   x   +   c o t g   x   c o s   x .
  6. s e c ( x ) - c o s ( x ) s e n ( x )
  7. s e c ( x ) s i n ( x ) t g ( x )
  8. s e c 3 ( x ) + s i n 2 ( x )   c o s ( x ) .
  9. s e c ( x ) - c o s ( x ) t g ( x )
  10. 1 + s i n ( x ) c o s ( x ) + c o s ( x ) 1 + s i n ( x )
  11. 2 + t g 2 ( x ) s e c 2 ( x ) - 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

simplificar as expressões acima. Para isso, precisamos lembrar algumas definições e identidades.

temos que:

s e c ( x ) = 1 / c o s ( x )

c o s s e c ( x ) = 1 / s i n ( x )

c o t g ( x ) = 1 / t g ( x )

s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1

s e c 2   x   =   1   +   t g 2 x

c o s s e c 2 x   =   1   +   c o t g 2 x

Show? Vamos começar pela letra b )

c o s   x   t g   x .

Usando a nossa revisão:

c o s   x   t g   x   =   c o s   x   *   s i n   x / c o s   x

= s i n   x

Letra c )

s e n   x   s e c   x .

Usando a nossa revisão:

s e n   x   s e c   x = s i n ( x ) * 1 / c o s ( x )

= t g ( x )

Letra d )

t g 2   x   −   s e c 2 x .

Usando a nossa cozinha, temos que

s e c 2   x   =   1   +   t g 2 x

Logo

t g 2   x   −   s e c 2 x = - 1

Letra e )

s e n   x   +   c o t g   x   c o s   x .

Usando a nossa colinha, temos:

s e n   x   +   c o t g   x   c o s   x = s e n   x   +   c o s ( x ) / s i n ( x ) * c o s   x .

= s i n ( x ) + c o s 2 ( x ) / s i n ( x )

= ( s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) ) / s i n ( x )

usando a identidade fundamental da trigonometria

1 / s i n ( x )

Passo 2

Vamos para as mais difíceis. Começando pela letra f )

s e c ( x ) - c o s ( x ) s e n ( x )

Usando a nossa cola

s e c ( x ) - c o s ( x ) s e n ( x ) = 1 / c o s ( x ) - c o s ( x ) s e n ( x )

= 1 - c o s 2 ( x ) c o s ( x ) / s i n ( x )

= s i n 2 ( x ) c o s ( x ) / s i n ( x )

= t g ( x )

Vamos para a letra g )

s e c ( x ) s i n ( x ) t g ( x )

Usando nossa revisão

s e c ( x ) s i n ( x ) t g ( x ) = 1 c o s ( x ) s i n ( x ) s i n ( x ) / c o s ( x )

= 1

Letra h )

s e c 3 ( x ) + s i n 2 ( x )   c o s ( x )

s e c 3 ( x ) + s i n 2 ( x )   c o s ( x ) = 1 / c o s 3 ( x ) + s i n 2 ( x )   c o s ( x )

= 1 + s i n 2 ( x ) c o s 4 ( x ) c o s 3 ( x )

Letra i )

s e c ( x ) - c o s ( x ) t g ( x )

s e c ( x ) - c o s ( x ) t g ( x ) = 1 / c o s ( x ) - c o s ( x ) s i n ( x ) / c o s ( x )

= ( 1 - c o s 2 ( x ) ) / c o s ( x ) s i n ( x ) / c o s ( x )

= s i n 2 ( x ) / c o s ( x ) s i n ( x ) / c o s ( x )

= s i n ( x )

Letra j )

1 + s i n ( x ) c o s ( x ) + c o s ( x ) 1 + s i n ( x )

1 + s i n ( x ) c o s ( x ) + c o s ( x ) 1 + s i n ( x ) = ( 1 + s i n ( x ) ) 2 + c o s 2 ( x ) c o s ( x ) ( 1 + s i n ( x ) )

= 1 + 2 s i n ( x ) + s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) c o s ( x ) ( 1 + s i n ( x ) )

simplificando

= 2 / c o s ( x )

Para finalizar vamos para a letra k )

2 + t g 2 ( x ) s e c 2 ( x ) - 1

usando que s e c 2   x   =   1   +   t g 2 x temos:

2 + t g 2 ( x ) s e c 2 ( x ) - 1 = 2 + t g 2 ( x )   1   +   t g 2 x - 1

= 1 / (   1   +   t g 2 x )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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