A função f : [-pi/2, pi/2] → [-1, 1] dada por f(x) = sen(x) é bijetora (verifique através gráfico) e, portanto, possui inversa. Sua inversa f^(-1) : [-1, 1] → [-π/2, π/2] é denotada por f^(-1)(x) = arcsen(x) (às vezes também é denotada por f^(-1)(x) = sen^(-1)(x) ). Por exemplo, arcsen(-1) é igual ao único número pertencente a [-pi/2, pi/2] cujo seno é igual a -1 e, portanto, arcsen(-1) = -pi/2 . Como outros exemplos, temos arcsen(0) = 0 e arcsen(1/2) = pi/6 (compare com as equações resolvidas no exercício anterior). Calcule o que se pede

(a) a * arcosen(1)

(b) a arcsen(raiz(3)/2)

(c) arcoseno(raiz(2)/2)

d arcoseno(-1/2)

(e) arcoseno(-raiz(2)/2)

(f) arccosen(-raiz(3)/2)

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado basicamente nos descreve o que é uma função inversa, em particular discutindo o arcoseno que será útil nesta questão, e pede para calcularmos

( a )   a r c s e n ( 1 )

( b )   a r c s e n ( 3 / 2 )

( c )   a r c s e n ( 2 / 2 )

( d )   a r c s e n ( - 1 / 2 )

( e )   a r c s e n ( - 2 / 2 )

( f )   a r c s e n ( - 3 / 2 )

Para isso, vamos usar propriedades da função s e n ( x ) e alguns valores conhecidos! Belezinha? Bora lá!

Passo 2

Primeiro temos a r c s e n ( 1 ) , precisamos encontrar o ângulo no qual o s e n ( x ) = 1 , o gráfico do seno é o seguinte

eu marquei ali o valor de x = π / 2 , portanto, temos que para x = π / 2 , s e n ( x ) = 1 e portanto

a r c s e n ( 1 ) = π / 2

Vamos fazer uma análise análoga para as outras alternativas!

Passo 3

Agora para a r c s e n ( 3 / 2 ) , você lembra daquela tabelinha de ângulos conhecidos para seno, cosseno e tangente, ela era tal que

note que o s e n ( π / 3 ) = 3 / 2 portanto, temos que

a r c s e n ( 3 / 2 ) = π / 3

com a tabela já podemos identificar também que

a r c s e n ( 2 / 2 ) = π / 4

Faltam mais três! Mas para esses, vamos precisar lembrar de uma propriedade da função s e n ( x ) ! Saca só!

Passo 4

Temos que a função seno é uma função com paridade ímpar, portanto, temos que

s e n ( - x ) = - s e n ( x )

Portanto, se eu considero o valor de x = - π / 6 , temos que

s e n ( - π / 6 ) = - s e n ( π / 6 ) = - 1 / 2

Portanto, se queremos a r c s e n ( - 1 / 2 ) , iremos estar procurando o ângulo - π / 6 , resumindo

a r c s e n ( - 1 / 2 ) = - π / 6

da mesma forma podemos usar a tabela junto com esta propriedade e obter que

a r c s e n ( - 2 / 2 ) = - π / 4 e a r c s e n ( - 3 / 2 ) = - π / 3

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   a r c s e n ( 1 ) = π / 2

( b )   a r c s e n ( 3 / 2 ) = π / 3

( c )   a r c s e n ( 2 / 2 ) = π / 4

( d )   a r c s e n ( - 1 / 2 ) = - π / 6

( e )   a r c s e n ( - 2 / 2 ) = - π / 4

( f )   a r c s e n ( - 3 / 2 ) = - π / 3

Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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