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Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 22

Utilize as fórmulas para a metade do arco para calcular:

  1. s e n   15 ◦

  2. c o s   15 ◦

  3. t g   15 ◦

  4. c o s   165 ◦
  5. s e n   22,5 ◦

  6. c o s ( π / 8 ) ;

  7. s e n ( 3 π / 8 )

  8. t g ( 5 π / 12 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

usar as fórmulas do arco metade para calcular as expressões. Vamos revisar.

s e n ( a / 2 )   =   ± 1 - c o s ( x ) 2

c o s ( a / 2 )   =   ± 1 + c o s ( x ) 2

Show? Vamos começar pela letra a )

s e n   15 ◦

Como

s e n   15 ◦ = s e n   30 / 2 ◦

então

s e n   30 / 2 ◦ = 1 - c o s ( 30 ) 2

= 1 - 3 / 2 2

então

s e n   15 ◦ = ( 2 - 3 ) / 2

Vamos para a letra b )

c o s   15 ◦

Como

c o s   15 ◦ = c o s   30 / 2 ◦

então

c o s   30 / 2 ◦ = 1 + c o s ( 30 ) 2

= 1 + 3 / 2 2

então

c o s   15 ◦ = ( 2 + 3 ) / 2

Letra c )

t g 15 ◦

Logo, como t g ( x ) = s i n ( x ) / c o s ( x ) . Temos que

t g 15 ◦ = s i n ( 15 ) / c o s ( 15 )

= ( 2 - 3 ) / ( 2 + 3 )

Passo 2

Vamos para a letra d )

c o s   165 ◦

c o s   165 ◦ = c o s ( 330 / 2 )

mas c o s ( 330 ) = c o s ( 30 )

então

c o s   330 / 2 ◦ = - 1 + c o s ( 330 ) 2

= - 1 + c o s ( 30 ) 2

então

c o s   165 ◦ = - ( 2 + 3 ) / 2

Letra e )

s e n   22,5 ◦

Como

s e n 22,5 ◦ = s i n   45 / 2 ◦

então

s i n   45 / 2 ◦ = 1 + c o s ( 45 ) 2

= 1 + 2 / 2 2

então

s i n   22,5 ◦ = ( 2 + 2 ) / 2

Passo 3

Vamos para a letra f )

c o s ( π / 8 ) ;

Como

c o s   ( π / 8 ) = c o s   ( ( π / 4 ) / 2 )

então

c o s   ( ( π / 4 ) / 2 ) = 1 + c o s ( π / 4 ) 2

= 1 + 2 / 2 2

então

c o s   π / 8 = ( 2 + 2 ) / 2

Letra g )

s e n ( 3 π / 8 )

Como

s e n ( 3 π / 8 ) = s i n   ( ( 3 π / 4 ) / 2 )

então

s i n   ( 3 π / 8 ) = 1 - c o s ( 3 π / 4 ) 2

= 1 + 2 / 2 2

então

s i n   ( 3 π / 8 ) = ( 2 + 2 ) / 2

Para finalizar, a letra h )

t g ( 5 π / 12 )

como

t g ( 5 π / 12 ) = t g ( ( 5 π / 6 ) / 2 )

então

t g ( ( 5 π / 6 ) / 2 ) = 1 - c o s ( 5 π / 6 ) 1 + c o s ( 5 π / 6 )

= 1 + 3 / 2 1 - 3 / 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Calcule o valor da expressão s e n 105 ° - c o s 75 ° .
Calcule cotg 165°, sec 255° e cossec 15°.
Sejam α = a r cs e n 4 5 um arco no 2º quadrante e β = a r ct g - 4 3 um arco no 4º quadrante. Calcule 25 c o s ⁡ ( α + β ) .
Determine os seguintes números: a r c t g 0 , a r c t g sqrt(3) , a r c t g (- 1) , a r c t g ((- sqrt(3))/(3)) .
Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .