Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

Ver Teoria
Exercício 35123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343637383940414243

Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 21

A partir das informações em cada item, calcule   s e n ( 2 x ) ,   c o s ( 2 x )   e   t g ( 2 x ) .

  1. s i n   x   = 5 / 13 e x pertence ao primeiro quadrante.
  2. t g   x   =   − 4 / 3 e x pertence ao segundo quadrante.
  3. c o s   x   = 4 / 5 e c o s s e c   x   <   0 .
  4. c o s s e c   x   =   4   e   t g   x   <   0 .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

usar as fórmulas da soma de arcos. Vamos revisar.

s e n ( a   + a )   =   s e n a · c o s a   +   s e n a · c o s a

= 2 s i n ( a ) c o s ( a )

c o s ( a   +   a )   =   c o s 2 a   -   s e n 2 a

t g ( a   + a )   =       (   2 t g   a ) / ( 1   -   t g 2 a )

Show? Vamos começar pela letra a )

s i n   x   = 5 / 13 e x pertence ao primeiro quadrante.

como x pertence ao primeiro quadrante, então c o s   x > 0

Dessa forma, como:

s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1

então

c o s ( x ) = 12 / 13

s e n ( 2 x )   =   2 s e n x · c o s   x

= 120 169

e temos que

c o s ( 2 x )   =   c o s 2 x   -   s e n 2 x

= 119 / 169

E como t g ( 2 x ) = s i n ( 2 x ) / c o s ( 2 x )

t g ( 2 x )   =     120 / 119

Passo 2

Vamos para a letra b )

t g   x   =   − 4 / 3 e x pertence ao segundo quadrante

t g ( 2 x )   =     (   2 t g   x ) / ( 1   -   t g 2 x ) )

= ( - 8 / 3 ) / ( 1 - 16 / 9 )

= ( - 8 / 3 ) / ( 7 / 9 )

= 24 / 7

Passo 3

Vamos para a letra c )

c o s   x   = 4 / 5 e c o s s e c   x   <   0

Se c o s s e c   x   <   0   ⇒   s i n   x   < 0

Dessa forma, como:

s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1

então

s i n ( x ) = 3 / 5

Logo,

s i n ( 2 x ) = 2 s i n ( x ) c o s ( x )

= 24 / 25

e temos que

c o s ( 2 x )   =   c o s 2 x   -   s e n 2 x

= 7 / 25

E como t g ( 2 x ) = s i n ( 2 x ) / c o s ( 2 x )

t g ( 2 x )   =     24 / 7

Passo 4

Vamos para a letra d )

c o s s e c   x   =   4   e   t g   x   <   0

como

  t g   x = s i n ( x ) / c o s ( x )

e como c o s s e c   x   =   4   e   t g   x   <   0

então temos que

s i n ( x ) < 0

Agora, se c o s s e c   x   =   4 , então

c o s   x =   1 / 4

Dessa forma, como:

s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1

então

s i n ( x ) = 15 / 4

Logo,

s i n ( 2 x ) = 2 s i n ( x ) c o s ( x )

= 2 15 / 16

e temos que

c o s ( 2 x )   =   c o s 2 x   -   s e n 2 x

= - 14 / 16

E como t g ( 2 x ) = s i n ( 2 x ) / c o s ( 2 x )

t g ( 2 x )   =     - 15 / 7

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da expressão s e n 105 ° - c o s 75 ° .
Calcule cotg 165°, sec 255° e cossec 15°.
Sejam α = a r cs e n 4 5 um arco no 2º quadrante e β = a r ct g - 4 3 um arco no 4º quadrante. Calcule 25 c o s ⁡ ( α + β ) .
Determine os seguintes números: a r c t g 0 , a r c t g sqrt(3) , a r c t g (- 1) , a r c t g ((- sqrt(3))/(3)) .
Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .