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Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 18

Verifique que as igualdades abaixo são identidades trigonométricas.

c o s   x / ( s e c ( x ) s i n ( x ) ) = c o s s e c ( x ) - s i n ( x )

c o t g ( x ) s e c ( x ) c o s s e c ( x ) = 1

( s i n ( x ) + c o s ( x ) ) 2 = 1 + 2 s i n ( x ) c o s ( x )

1 - s i n ( x ) 1 + s i n ( x ) = ( s e c ( x ) - t g ( x ) ) 2

s e n 4 ( x ) - c o s 4 ( x ) = s e n 2 ( x ) - c o s 2 ( x )

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

verificar se as igualdades são válidas. Para isso, precisamos lembrar algumas definições e identidades.

temos que:

s e c ( x ) = 1 / c o s ( x )

c o s s e c ( x ) = 1 / s i n ( x )

c o t g ( x ) = 1 / t g ( x )

s i n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) = 1

s e c 2   x   =   1   +   t g 2 x

c o s s e c 2 x   =   1   +   c o t g 2 x

Show? Vamos começar pela letra b )

c o s   x / ( s e c ( x ) s i n ( x ) ) = c o s s e c ( x ) - s i n ( x )

c o s   x / ( s e c ( x ) s i n ( x ) ) = c o s   x / ( s i n ( x ) / c o s ( x ) )

= c o s 2 ( x ) / s i n ( x )

como c o s 2 ( x ) = 1 - s i n 2 ( x )

= 1 / s i n ( x ) - s i n ( x )

= c o s s e c ( x ) - s i n ( x )

Então mostramos a igualdade

Vamos para a letra c )

c o t g ( x ) s e c ( x ) c o s s e c ( x ) = 1

c o t g ( x ) s e c ( x ) c o s s e c ( x ) = c o s ( x ) s i n ( x ) * 1 c o s ( x ) 1 / s i n ( x )

= 1 / s i n ( x ) 1 / s i n ( x )

= 1

Então mostramos a igualdade

Vamos para a letra d )

( s i n ( x ) + c o s ( x ) ) 2 = 1 + 2 s i n ( x ) c o s ( x )

( s i n ( x ) + c o s ( x ) ) 2 =   s i n 2 ( x ) + 2 s i n ( x ) c o s ( x ) + c o s 2 ( x )

= 1 + 2 s i n ( x ) c o s ( x )

Então mostramos a igualdade

Vamos para a letra e )

1 - s i n ( x ) 1 + s i n ( x ) = ( s e c ( x ) - t g ( x ) ) 2

multiplicando em cima e embaixo por 1 - s i n ( x )

1 - s i n ( x ) 1 + s i n ( x ) = 1 - s i n ( x ) 1 + s i n ( x ) * 1 - s i n ( x ) 1 - s i n ( x )

= ( 1 - s i n ( x ) ) 2 1 - s i n 2 ( x )

= 1 - 2 s i n ( x ) + s i n 2 ( x ) c o s 2 ( x )

= ( s e c ( x ) - t g ( x ) ) 2

Então mostramos a igualdade

letra f )

s e n 4 ( x ) - c o s 4 ( x ) = s e n 2 ( x ) - c o s 2 ( x )

s e n 4 ( x ) - c o s 4 ( x ) = ( s e n 2 ( x ) - c o s 2 ( x ) ) ( s e n 2 ( x ) + c o s 2 ( x ) )

= ( s e n 2 ( x ) - c o s 2 ( x ) )

Então mostramos a igualdade

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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