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Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 25

Reescreva as somas como produtos:

  1. s e n ( 5 x )   +   s e n ( 3 x ) ;
  2. s e n ( x )   −   s e n ( 4 x ) ;
  3. c o s ( 4 x )   −   c o s ( 6 x ) ;  
  4. c o s ( 9 x )   +   c o s ( 2 x ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

reescrever os produtos de seno e cosseno como somas.Para isso, vamos revisar as fórmulas

s e n ( x ) + s i n ( y )   =   2 s i n ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

s e n ( x ) - s i n ( y )   =   2 s i n ( x - y 2 ) c o s ( x + y 2 )

c o s ( x ) + c o s ( y )   =   2 c o s ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

c o s ( x ) - c o s ( y )   =   - 2 s i n ( x + y 2 ) s i n ( x - y 2 )

Show? Vamos começar pela letra a )

s e n ( 5 x )   +   s e n ( 3 x ) ;

Usando

s e n ( x ) + s i n ( y )   =   2 s i n ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

obtemos

s e n ( 5 x )   +   s e n ( 3 x ) = 2 s i n ( 4 x ) c o s ( x )

Passo 2

Vamos para a letra b )

s e n ( x )   −   s e n ( 4 x ) ;

usando

s e n ( x ) - s i n ( y )   =   2 s i n ( x - y 2 ) c o s ( x + y 2 )

obtemos que

s e n ( x ) - s i n ( 4 x )   =   2 s i n ( - 3 x 2 ) c o s ( 5 x 2 )

como seno é ímpar

=   - 2 s i n ( 3 x 2 ) c o s ( 5 x 2 )

Passo 3

Letra c )

c o s ( 4 x )   −   c o s ( 6 x ) ;  

Usando

c o s ( x ) - c o s ( y )   =   - 2 s i n ( x + y 2 ) s i n ( x - y 2 )

obtemos que

c o s ( 4 x )   −   c o s ( 6 x ) ;   = - 2 s i n ( 5 x ) s i n ( - x )

como seno é ímpar

= 2 s i n ( 5 x ) s i n ( x )

Passo 4

Por último, a letra d )

c o s ( 9 x )   +   c o s ( 2 x ) .

usando

c o s ( x ) + c o s ( y )   =   2 c o s ( x + y 2 ) c o s ( x - y 2 )

obtemos que

c o s ( 9 x )   +   c o s ( 2 x ) =   2 c o s ( 11 x 2 ) c o s ( 7 x 2 )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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