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Exercícios Resolvidos de Círculo Trigonométrico

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 19

Utilize as fórmulas para soma de arcos para calcular:

  1. s e n   75 ◦
  2. c o s   105 ◦
  3. t g   15 ◦
  4. s e n ( 19 π / 12 )
  5. c o s ( 17 π / 12 )
  6. t g ( − π / 12 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é

usar as fórmulas da soma de arcos. Vamos revisar.

s e n ( a   ±   b )   =   s e n a · c o s b   ±   s e n b · c o s a

c o s ( a   ±   b )   =   c o s a · c o s b   ∓   s e n a · s e n b

t g ( a   ±   b )   =       (   t g a   ±   t g b   ) / ( 1   ∓   t g a · t g b )

Show? Vamos começar pela letra a )

s e n   75 ◦

s i n ( 75 ) = s i n ( 30 + 45 )

s e n ( 30 + 45 )   =   s e n 30 · c o s 45   +   s e n 30 · c o s 45

= 1 / 2 * 2 / 2 + 3 / 2 * 2 / 2  

= 2 / 2 * ( 1 + 3 2 )

Vamos para a letra b )

c o s   105 ◦

c o s   105 ◦ = c o s ( 45   +   60 )

c o s ( 45   +   60 )   =   c o s 45 · c o s 60   –   s e n 45 · s e n 60

= 2 / 4 - 6 / 4

Vamos para a letra c )

t g   15 ◦

t g   15 ◦ = t g ( 45 - 30 )

t g ( 45 - 30 )   =       (   t g 45   -   t g 30   ) / ( 1   +   t g 45 · t g 30 )

= ( 2 / 2 - 3 / 3 ) / ( 1 + 6 / 6 )

Passo 2

Vamos para a letra d )

s e n ( 19 π / 12 )

s e n ( 19 π / 12 ) = s e n ( π + 7 π / 12 )

s e n ( π + 7 π / 12 ) = s e n π · c o s 7 π / 12   +   s e n 7 π / 12 · c o s π

= - s i n ( 7 π / 12 )

mas temos que

- s i n ( 7 π / 12 ) = - s i n ( π / 4 + π / 3 )

= -   s e n π / 4 · c o s π / 3   -   s e n π / 3 · c o s π / 4

= - 2 4 - 6 4

letra e )

s e n ( 17 π / 12 )

s e n ( 17 π / 12 ) = s e n ( π + 5 π / 12 )

s e n ( π + 7 π / 12 ) = s e n π · c o s 5 π / 12   +   s e n 5 π / 12 · c o s π

= - s i n ( 5 π / 12 )

mas temos que

- s i n ( 5 π / 12 ) = - s i n ( π / 6 + π / 4 )

= -   s e n π / 6 · c o s π / 4   -   s e n π / 4 · c o s π / 6

= - 2 4 - 6 4

Para finalizarmos a letra f )

t g ( a   ±   b )   =       (   t g a   ±   t g b   ) / ( 1   ∓   t g a · t g b )

t g ( − π / 12 ) .

t g ( − π / 12 ) = t g ( π / 3 − π / 4 )

=       (   t g π / 3   -   t g π / 4   ) / ( 1   +   t g π / 3 · t g π / 4 )

= ( 3 - 1 ) ( 1 + 3 )

= 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Calcule o valor da expressão s e n 105 ° - c o s 75 ° .
Calcule cotg 165°, sec 255° e cossec 15°.
Sejam α = a r cs e n 4 5 um arco no 2º quadrante e β = a r ct g - 4 3 um arco no 4º quadrante. Calcule 25 c o s ⁡ ( α + β ) .
Determine os seguintes números: a r c t g 0 , a r c t g sqrt(3) , a r c t g (- 1) , a r c t g ((- sqrt(3))/(3)) .
Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .