Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 13 – Seção 2 – Exercício 23
(Capítulo 13.2 – Exercício 23)
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
Passo 1
Salveeee galera! Vamos pra mais uma de derivadas?
Nesse caso, temos uma curva , e aí queremos encontrar o vetor tangente a essa curva no ponto que foi dado
Então vamos lá!
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação vetorial da nossa curva:
Para encontrarmos o vetor tangente, precisamos derivar a curva , e fazemos isso derivando cada componente individualmente, beleza?
Então a nossa derivada é
Show, agora vamos trabalhar com aquele ponto aplicado nessa curva
Passo 3
O ponto corresponde a:
Substituindo as expressões, temos
Então, o ponto corresponde a
Substituindo na derivada , encontramos o vetor tangente:
Assim, a reta tangente passa pelo ponto e é paralela ao vetor
Agora só falta encontrar as equações paramétricas
Passo 4
Sabendo que as equações paramétricas de uma reta são dadas por
Onde é um ponto e é o vetor diretor, vamos usar o fato de que nossa reta passa no ponto e tem vetor diretor
Então, temos que as equações paramétricas são:
E é issooo