Determine se as retas tomadas duas a duas são paralelas, se cruzam ou são reversas. No caso de se cruzarem, encontre o ponto de interseção.
Passo 1
Temos de analisar as retas duas a duas, então vamos começar com as retas e . Os vetores diretores são:
e
Vamos verificar se esses vetores são paralelos. Para isso, é necessário que . Temos:
Precisamos de um valor para que satisfaça as 3 equações acima simultaneamente. Portanto, vamos resolve-las. Caso as 3 equações forneçam o mesmo valor para , os vetores são paralelos, caso contrário, os vetores não são paralelos,
Da primeira equação temos:
Da segunda equação temos:
Da terceira equação temos:
Como os valores para não são os mesmos, concluímos que os vetores não são paralelos.
Passo 2
Vamos verificar agora se retas e possuem um ponto de interseção.
Igualando as coordenadas:
Da equação temos:
Substituindo o valor de na equação:
e
Agora, vamos verificar se as equações e são satisfeitas com os valores de e encontrados:
Da equação :
ok!!!
Da equação :
ok!!!
Da equação
ok!!!
Portanto as retas e são concorrentes e se encontram no ponto
Passo 3
Vamos fazer a mesma análise que fizemos nos passos anteriores, só que dessa vez para as retas e .
Vamos verificar se os vetores são paralelos, ou seja, se
Da primeira equação temos:
Da segunda equação temos:
Da terceira equação temos:
Como os valores para não são os mesmos, concluímos que os vetores não são paralelos.
Passo 4
Vamos verificar agora se retas e possuem um ponto de interseção.
Igualando as coordenadas:
Da equação temos:
Substituindo o valor de na equação:
Agora, vamos verificar se as equações e são satisfeitas:
Da equação :
ok!!!
Da equação :
ok!!!
Da equação
Portanto, não há ponto de interseção e as retas e são reversas.
Passo 5
Finalmente vamos analisar as retas e :
Vamos verificar se os vetores são paralelos:
Da primeira equação temos:
Da segunda equação temos:
Da terceira equação temos:
Como os valores para são os mesmos, concluímos que os vetores são paralelos e as retas e são paralelas.
Resposta
As retas e são concorrentes e se interceptam em (5,3,1)
As retas e são reversas.
As retas e são paralelas.