Curvas Parametrizadas, Superfícies
A equação do plano que contém as 2 retas parametrizadas por
com , é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Nenhuma das demais alternativas.
Passo 1
A equação de um plano que passa pelo ponto e tem vetor normal é dada por:
Então precisamos de um ponto onde o plano passa e de um vetor normal do plano!
Passo 2
Eles nos deu parametrizações de duas retas.
A parametrização de uma reta é da forma
onde é um ponto da reta e um vetor na direção da reta.
Repare que
Ou seja, as 2 retas se cruzam no ponto e depois uma parte na direção do vetor e a outra na direção do vetor .
Então já achamos um ponto do plano: o ponto !
Passo 3
Além do mais, isso que descobrimos é ótimo pra achar o vetor normal do plano!
Esse vetor é normal ao plano, então ele é normal às duas retas. Ou seja, ele é normal aos vetores diretores dessas retas e !
E se 2 vetores são ortogonais, o produto escalar deles dá zero! Digamos que .
Logo,
Pela equação , temos:
Substituindo na :
Ou seja:
Então qualquer vetor múltiplo do vetor é normal ao plano! Isso significa que podemos escolher qualquer valor pra constante que esse vetor aí vai ser normal ao plano.
Passo 4
Show! Vamos aplicar a equação do plano
usando e escolhendo para tirar essas frações do vetor normal, ficamos com
Assim, a equação do plano é:
Resposta
Alternativa (b)