Banco de Questões de Prova de Cálculo 2 da UFSCAR - 2020.2
Cálculo 2 - UFSCAR
Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm
Para isso considere
Ver solução completaA lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume é dada por , nesta fórmula R é a constante do gás. Nestas condições a afirmação:
É verdadeira ou falsa?
Ver solução completaO gráfico da função não admite plano tangente no ponto .
Escolha uma opção:
- Verdadeiro
- Falso
A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por onde é medido em graus Celsius e em metros.
A taxa de variação da temperatura no ponto em direção ao ponto é:
Suponha que uma alpinista esta escalando um morro cujo formato é dado pela equação onde são dados em metros, e a alpinista esteja no ponto . O eixo positivo dos x aponta para o leste e o eixo positivo dos y aponta para o norte.
Se a alpinista caminhar para o sul:
- Ela irá subir a uma taxa de 2.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela irá descer a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela irá descer a uma taxa de 2.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela irá subir a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais
- Ela permanecerá no mesmo nível
A energia cinética de um corpo com massa e velocidade é . Nestas condições a afirmação é verdadeira ou falsa?
Ver solução completaSeja a função definida por
Onde D é a região triangular fechada com vértices . Preencha os espaços abaixo:
- O valor máximo absoluto de é :
- O valor mínimo absoluto de é:
A frase: Se é uma função tal que em um ponto e é um vetor unitário, então é .....
Ver solução completaSeja é uma função diferenciável num ponto . Se , .... afirmar que é um ponto de mínimo ou de máximo local de .
Ver solução completaDada a função , determine seus valores máximo e mínimo restritos a .
O valor máximo é:
E o valor mínimo é:
Ver solução completaCaminhando sobre a intersecção do elipsoide com o plano os pontos de menor distância à origem podem ser encontrados nas subsoluções do sistema de _____ equações e ____ incógnitas:
Ver solução completaSeja uma função diferenciável. A frase:
“ Se o hessiano de em um ponto é positivo e , então é um ponto de máximo local de ”
É:
Verdadeira ou falsa?
Ver solução completaA temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa metálica é , uma formiga sobre a chapa anda ao redor da circunferência de raio 5 centrada na origem. As temperaturas máxima e mínima encontradas pela formiga são:
Temperatura máxima:
Temperatura mínima:
Ver solução completaSupondo que em alguma era passada ou futura a temperatura em cada ponto da superfície da Terra seja dada por . Considerando a Terra como uma esfera perfeita de raio , escolha a resposta completa:
- Como , não há como concluir o exercício
- A temperatura máxima ocorre em pontos distintos da Terra
- Existem infinitos pontos da Terra onde a temperatura é mínima, valendo graus
- A temperatura mínima ocorre em quatro pontos distintos da Terra
- A temperatura máxima é de graus.
Os três números positivos suja soma é 12 e suja soma dos quadrados é a menor possível são:
Ver solução completaSeja a função definida por
Preencha os espaços vazios:
- é ponto de sela de .
- é ponto de máximo local de .
- : ponto de sela
- e é ponto de mínimo relativo e é máximo relativo.
- é ponto de sela de .
- é ponto de máximo local de .
- é ponto de sela de .
- é ponto de máximo local de .
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O enunciado pediu um ponto de sela e um ponto de máximo local de . Bom, para determinar isso, precisamos achar o valor de . Lembra dele?
Se:
Sendo assim, precisamos encontrar os pontos críticos (derivando parcialmente e igualando a zero, formando um sistema) e testar nas derivadas segundas.
Mas calma que vou fazer junto com você!
Vamos nessa?
Passo 2
Primeiro em e ela deve ser zero:
Aqui temos apenas uma solução, que é quando , pois a exponencial não zera.
E em :
Então temos que satisfazer essa equação:
Vou colocar em evidência :
Aqui temos um produto de dois fatores e e isso deve ser zero. Bom nunca pode ser zero, então o termo
Deve ser zero.
Daí temos uma equação com duas soluções:
Aqui temos que ou ou , então as soluções são:
Sendo assim temos dois pontos críticos:
e
Agora precisamos achar as derivadas parciais segundas e depois testar os pontos.
Passo 3
A derivada em :
E derivando de novo:
Agora a derivada em :
Derivando de novo:
E agora a derivada cruzada. Vou pegar a derivada primeira em :
E derivar em :
Agora vamos montar o :
Passo 4
Agora vamos aplicar nos pontos críticos. Primeiro para :
D(0,0):
Então o ponto é ponto de sela.
E agora para :
D(0,-2):
Então como , precisamos testar para saber se é mesmo ponto de máximo relativo.
A função é:
E aplicado em :
Assim, como e temos que o ponto é ponto de máximo relativo.
E completando os espaços vazios:
Preencha os espaços vazios:
Ufa! Terminamos!
Espero ter ajudado!
Até a próxima!
Resposta
A derivada direcional de uma função num ponto , na direção de um vetor unitário , ...... é igual a
Ver solução completaDenote por P e Q os pontos do cone mais próximos do ponto .
Assinale a alternativa correta:
Sejam uma função de classe e restrições , ..., , em que são funções de classe com vetores gradientes calculados em linearmente independentes em cada . Se é um ponto de máximo de condicionalmente às referidas restrições,então:
- é um ponto crítico de
- é um ponto de máximo local de em
- para certos
- Os vetores gradiente de e , calculados em são linearmente independentes
- Os vetores gradiente de e , calculados em são linearmente dependentes
A temperatura em um ponto é dada por onde é medido em Celsius e em metros. Direção e sentido de mais crescimento no ponto é:
O valor Mínimo da função sobre a curva de interseções das superfícies e é ____.
Ver solução completaDenote por x, y, z três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. Assinale a alternativa correta:
- Os números são distintos dois a dois
- O produto máximo é
- Todas as demais alternativas estão erradas
Uma condição suficiente para que a fórmula
Ser verdadeira é que seja ..... em .
Ver solução completaA profundidade de um lago em um ponto com coordenadas é dada por com em metros. Um barco parte do ponto em direção a uma boia no ponto
A água sob o barco está ficando mais .... , pois a derivada direcional de em em direção à boia é ..... de aproximadamente ....
Ver solução completaA temperatura em um ponto é dada por , onde é medida em graus Celsius e em metros. A direção e sentido de maior aumento da temperatura a partir do ponto é dada pelo vetor unitário e a taxa de variação máxima da temperatura neste ponto é ..... graus Celsius por metro.
Ver solução completaSuponha que um alpinista esta escalando um morro cujo formato é dado pela equação , onde são dados em metros, e o alpinista esteja no ponto de coordenadas . O eixo positivo dos aponta para o leste e o eixo positivo aponta para o norte. Se o alpinista caminhar na direção sudoeste, ele irá ....., a uma taxa de, aproximadamente, .... metros verticais por metros horizontais.
Ver solução completaSeja a função definida por
a) Calcule os pontos crítico de
b) Calcule o hessiano de
c) encontre os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela de f, caso existam. Calcule os respectivos valores de f em tais pontos.
d) Considere a curva do descrita pela equação . Utilize o método dos Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de em C.
e) Considere a região do dada por:
Porque f admite valores de máximo e mínimo em A? utilize os itens c) e d) para determinar os valores máximo e mínimo de f em A.
Ver solução completa